题目
单选题（共20题，40.0分） 题型说明：简单 10.（2.0分）设总体X服从正态分布N（u，σ^2）， X1，X2，X3，…，Xn是它的一个样本，则样本均值A的 方差是（） A. σ^2/n B. σ^4/n C. σ^3/n D. σ^1/n
单选题（共20题，40.0分） 题型说明：简单 10.（2.0分）设总体X服从正态分布N（u，σ^2）， X1，X2，X3，…，Xn是它的一个样本，则样本均值A的 方差是（）
A. σ^2/n
B. σ^4/n
C. σ^3/n
D. σ^1/n
A. σ^2/n
B. σ^4/n
C. σ^3/n
D. σ^1/n
题目解答
答案
样本均值 $ A = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $，其中每个 $ X_i $ 服从 $ N(u, \sigma^2) $。利用方差性质：
\[
D(A) = D\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \left( \frac{1}{n} \right)^2 \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}
\]
因此，样本均值 $ A $ 的方差为 $ \frac{\sigma^2}{n} $，对应选项 **A**。
\[
\boxed{A}
\]
解析
考查要点：本题主要考查样本均值的方差计算，涉及正态分布的性质及方差的线性性质。
解题核心思路：
- 明确样本均值的定义：$\bar{A} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。
- 利用方差的线性性质：独立随机变量的和的方差等于方差的和（本题中样本相互独立）。
- 结合系数平方对方差的影响：$\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X)$。
破题关键点：
- 正确应用方差公式，注意系数$\frac{1}{n}$的平方作用。
设样本均值为$\bar{A} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，其中每个$X_i$服从$N(\mu, \sigma^2)$。根据方差的性质：
-
方差的线性性：
$D\left( \sum_{i=1}^n a_i X_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i^2 D(X_i)$
本题中$a_i = \frac{1}{n}$，且各$X_i$独立，因此协方差项为0。 -
代入计算：
$D(\bar{A}) = D\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \left( \frac{1}{n} \right)^2 \sum_{i=1}^n D(X_i)$
每个$D(X_i) = \sigma^2$，故：
$D(\bar{A}) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$
因此，样本均值的方差为$\frac{\sigma^2}{n}$，对应选项A。