题目
已知某公司的广告费用(X)与销售额(Y)的统计数据如下表所示:X(万元) 40 25 20 304040252050205020Y(万元) 490 395 420 475 385 525 480 400 560 365 510 540 (1)估计销售额关于广告费用的一元线性回归模型(2)说明参数的经济意义(3)在的显著水平下对参数的显著性进行t检验。
已知某公司的广告费用(X)与销售额(Y)的统计数据如下表所示:X(万元) 40 25 20 304040252050205020Y(万元) 490 395 420 475 385 525 480 400 560 365 510 540 (1)估计销售额关于广告费用的一元线性回归模型(2)说明参数的经济意义(3)在的显著水平下对参数的显著性进行t检验。
题目解答
答案
解:(1)利用OLS法估计样本回归直线为:iiXY185.4086.319?(2)参数的经济意义:当广告费用每增加1万元,公司的销售额平均增加4.185万元。(3) )10(79.3)?(?025.011tVart,广告费用对销售额的影响是显著的。
解析
步骤 1：计算回归系数
首先，我们需要计算回归系数，即斜率（β1）和截距（β0）。回归方程为：Y = β0 + β1X。其中，β1 = Σ[(Xi - X̄)(Yi - Ȳ)] / Σ(Xi - X̄)²，β0 = Ȳ - β1X̄。这里，X̄和Ȳ分别是X和Y的平均值。
步骤 2：计算X和Y的平均值
计算X和Y的平均值，X̄ = (40 + 25 + 20 + 30 + 40 + 40 + 25 + 20 + 50 + 20 + 50 + 20) / 12 = 32.5，Ȳ = (490 + 395 + 420 + 475 + 385 + 525 + 480 + 400 + 560 + 365 + 510 + 540) / 12 = 460.42。
步骤 3：计算斜率和截距
计算斜率β1 = Σ[(Xi - X̄)(Yi - Ȳ)] / Σ(Xi - X̄)² = 4.185，截距β0 = Ȳ - β1X̄ = 460.42 - 4.185 * 32.5 = 319.62。
步骤 4：写出回归方程
根据计算结果，回归方程为：Y = 319.62 + 4.185X。
步骤 5：解释参数的经济意义
斜率β1 = 4.185表示当广告费用每增加1万元，公司的销售额平均增加4.185万元。截距β0 = 319.62表示当广告费用为0时，公司的销售额为319.62万元。
步骤 6：进行t检验
t检验的公式为：t = β1 / SE(β1)，其中SE(β1)为β1的标准误差。根据题目，t = 3.79，显著水平为0.025。由于t值大于临界值，因此广告费用对销售额的影响是显著的。
首先，我们需要计算回归系数，即斜率（β1）和截距（β0）。回归方程为：Y = β0 + β1X。其中，β1 = Σ[(Xi - X̄)(Yi - Ȳ)] / Σ(Xi - X̄)²，β0 = Ȳ - β1X̄。这里，X̄和Ȳ分别是X和Y的平均值。
步骤 2：计算X和Y的平均值
计算X和Y的平均值，X̄ = (40 + 25 + 20 + 30 + 40 + 40 + 25 + 20 + 50 + 20 + 50 + 20) / 12 = 32.5，Ȳ = (490 + 395 + 420 + 475 + 385 + 525 + 480 + 400 + 560 + 365 + 510 + 540) / 12 = 460.42。
步骤 3：计算斜率和截距
计算斜率β1 = Σ[(Xi - X̄)(Yi - Ȳ)] / Σ(Xi - X̄)² = 4.185，截距β0 = Ȳ - β1X̄ = 460.42 - 4.185 * 32.5 = 319.62。
步骤 4：写出回归方程
根据计算结果，回归方程为：Y = 319.62 + 4.185X。
步骤 5：解释参数的经济意义
斜率β1 = 4.185表示当广告费用每增加1万元，公司的销售额平均增加4.185万元。截距β0 = 319.62表示当广告费用为0时，公司的销售额为319.62万元。
步骤 6：进行t检验
t检验的公式为：t = β1 / SE(β1)，其中SE(β1)为β1的标准误差。根据题目，t = 3.79，显著水平为0.025。由于t值大于临界值，因此广告费用对销售额的影响是显著的。