8.设x1,x2,···,xn是来自 U(-1,1) 的样本,试求E(x )和Var(x).

考查要点：本题主要考查均匀分布的期望与方差，以及样本均值的期望与方差的计算。

解题核心思路：

1. 均匀分布的性质：对于均匀分布 $U(a,b)$，其期望为 $\frac{a+b}{2}$，方差为 $\frac{(b-a)^2}{12}$。
2. 样本均值的性质：样本均值 $\bar{x}$ 的期望等于总体均值，方差为总体方差除以样本量 $n$（前提是样本独立）。

破题关键点：

• 明确均匀分布 $U(-1,1)$ 的参数 $a=-1$，$b=1$。
• 利用期望的线性性计算 $\mathrm{E}(\bar{x})$。
• 利用方差的性质（独立样本）计算 $\mathrm{Var}(\bar{x})$。

1. 计算总体期望 $\mathrm{E}(X)$

对于均匀分布 $U(-1,1)$，期望为：
$\mathrm{E}(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0.$

2. 计算总体方差 $\mathrm{Var}(X)$

方差公式为：
$\mathrm{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = \frac{(1 - (-1))^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.$

3. 计算样本均值 $\bar{x}$ 的期望

样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，根据期望的线性性：
$\mathrm{E}(\bar{x}) = \mathrm{E}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathrm{E}(x_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot 0 = 0.$

4. 计算样本均值 $\bar{x}$ 的方差

由于样本独立，方差为：
$\mathrm{Var}(\bar{x}) = \mathrm{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(x_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3n}.$