题目

某社区10000名居民的体重服从正态分布,均值为80千克,标准差为12千克。求:(1)有多少人的体重在80千克至93千克之间;(2)有多少人的体重在90千克至105千克之间;(3)有多少人的体重在70千克至105千克之间;(4)有多少人的体重低于68千克。

某社区10000名居民的体重服从正态分布,均值为80千克,标准差为12千克。求:

(1)有多少人的体重在80千克至93千克之间;

(2)有多少人的体重在90千克至105千克之间;

(3)有多少人的体重在70千克至105千克之间;

(4)有多少人的体重低于68千克。

题目解答

答案

解:该社区10000名居民的体重服从的正态分布为。

(1)体重在80千克至93千克之间居民占该社区全部居民人数的比例:

体重在80千克至93千克之间的居民的人数:

(2)体重在90千克至105千克之间居民占该社区全部居民人数的比例:

解析

本题考查正态分布的实际应用，需要将给定的体重区间转换为标准正态分布（Z分布）的区间，通过查标准正态分布表计算概率，再结合总人数得出具体人数。解题核心在于：

  1. 标准化转换：将原始数据转换为Z值，公式为$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$；
  2. 查表求概率：根据Z值范围查标准正态分布表，计算对应区间的概率；
  3. 计算人数：用概率乘以总人数10000。

第（1）题

体重在80千克至93千克之间：

  1. 标准化：
    • 下限$X_1 = 80$，对应$Z_1 = \dfrac{80 - 80}{12} = 0$；
    • 上限$X_2 = 93$，对应$Z_2 = \dfrac{93 - 80}{12} \approx 1.08$。
  2. 查表求概率：
    • $P(0 < Z < 1.08) = P(Z < 1.08) - P(Z < 0) = 0.8599 - 0.5 = 0.3599$。
  3. 计算人数：
    $10000 \times 0.3599 = 3599$。

第（2）题

体重在90千克至105千克之间：

  1. 标准化：
    • 下限$X_1 = 90$，对应$Z_1 = \dfrac{90 - 80}{12} \approx 0.83$；
    • 上限$X_2 = 105$，对应$Z_2 = \dfrac{105 - 80}{12} \approx 2.08$。
  2. 查表求概率：
    • $P(0.83 < Z < 2.08) = P(Z < 2.08) - P(Z < 0.83) = 0.9813 - 0.7967 = 0.1846$。
  3. 计算人数：
    $10000 \times 0.1846 = 1846$。

第（3）题

体重在70千克至105千克之间：

  1. 标准化：
    • 下限$X_1 = 70$，对应$Z_1 = \dfrac{70 - 80}{12} \approx -0.83$；
    • 上限$X_2 = 105$，对应$Z_2 = 2.08$（同第（2）题）。
  2. 查表求概率：
    • $P(-0.83 < Z < 2.08) = P(Z < 2.08) - P(Z < -0.83) = 0.9813 - 0.2033 = 0.7780$。
  3. 计算人数：
    $10000 \times 0.7780 = 7780$。

第（4）题

体重低于68千克：

  1. 标准化：
    • $X = 68$，对应$Z = \dfrac{68 - 80}{12} = -1.00$。
  2. 查表求概率：
    • $P(Z < -1.00) = 0.1587$。
  3. 计算人数：
    $10000 \times 0.1587 = 1587$。