题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，其中 mu, sigma^2 已知，X_1, X_2, ldots, X_n （n geq 3）为来自总体 X 的样本，overline(X) 为样本均值，s^2 为样本方差，则下列统计量中服从 t 分布的是（） A. (overline(X))/(sqrt(frac((n-1)s^2){sigma))}B. (overline(X)-mu)/(sqrt(frac((n-1)s^2){sigma^2))}C. (overline(X)-mu)/(sqrt(frac((n-1)s^2){sigma^2))}D. (sigma/sqrt(n))/(sqrt(frac((n-1)s^2){sigma^2))}
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu, \sigma^2$ 已知，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ （$n \geq 3$）为来自总体 $X$ 的样本，$\overline{X}$ 为样本均值，$s^2$ 为样本方差，则下列统计量中服从 $t$ 分布的是（）
- A. $\frac{\overline{X}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma}}}$
- B. $\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}}$
- C. $\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}}$
- D. $\frac{\sigma/\sqrt{n}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}}$
题目解答
答案
t分布定义为标准正态变量与独立的卡方变量（除以自由度）的平方根的比值。
- **选项A**：$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 服从标准正态分布，非t分布。
- **选项B**：$\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}$ 服从$\chi^2(n-1)$的平方根，非t分布。
- **选项C**：$\frac{\bar{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}$ 符合t分布定义，分子为标准正态变量，分母为卡方变量（除以自由度）的平方根。
- **选项D**：表达式无明确已知分布，非t分布。
**答案：** $\boxed{C}$
解析
步骤 1：理解t分布的定义
t分布定义为标准正态变量与独立的卡方变量（除以自由度）的平方根的比值。即，如果 $Z \sim N(0,1)$，$U \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $U$ 独立，则 $T = \frac{Z}{\sqrt{U/n}}$ 服从 $t(n)$ 分布。
步骤 2：分析选项A
$\frac{\overline{X}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma}}}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$s^2$ 是样本方差。$\overline{X}$ 服从 $N(\mu, \sigma^2/n)$，但分子没有减去 $\mu$，因此不是标准正态变量，所以不满足t分布的定义。
步骤 3：分析选项B
$\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}}$，分子 $\overline{X}-\mu$ 服从 $N(0, \sigma^2/n)$，但分母 $\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}$ 为卡方变量的平方根，而不是卡方变量除以自由度的平方根，因此不满足t分布的定义。
步骤 4：分析选项C
$\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}}$，分子 $\overline{X}-\mu$ 服从 $N(0, \sigma^2/n)$，分母 $\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}$ 为卡方变量（除以自由度）的平方根，因此满足t分布的定义。
步骤 5：分析选项D
$\frac{\sigma/\sqrt{n}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}}$，分子 $\sigma/\sqrt{n}$ 不是标准正态变量，因此不满足t分布的定义。
t分布定义为标准正态变量与独立的卡方变量（除以自由度）的平方根的比值。即，如果 $Z \sim N(0,1)$，$U \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $U$ 独立，则 $T = \frac{Z}{\sqrt{U/n}}$ 服从 $t(n)$ 分布。
步骤 2：分析选项A
$\frac{\overline{X}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma}}}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$s^2$ 是样本方差。$\overline{X}$ 服从 $N(\mu, \sigma^2/n)$，但分子没有减去 $\mu$，因此不是标准正态变量，所以不满足t分布的定义。
步骤 3：分析选项B
$\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}}$，分子 $\overline{X}-\mu$ 服从 $N(0, \sigma^2/n)$，但分母 $\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}$ 为卡方变量的平方根，而不是卡方变量除以自由度的平方根，因此不满足t分布的定义。
步骤 4：分析选项C
$\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}}$，分子 $\overline{X}-\mu$ 服从 $N(0, \sigma^2/n)$，分母 $\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}$ 为卡方变量（除以自由度）的平方根，因此满足t分布的定义。
步骤 5：分析选项D
$\frac{\sigma/\sqrt{n}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}}$，分子 $\sigma/\sqrt{n}$ 不是标准正态变量，因此不满足t分布的定义。