题目
公共汽车车门的高度是按照男子与车门顶碰头的概率在0.01以下设计的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N(170,36)，问车门高度应至少设计为多少
公共汽车车门的高度是按照男子与车门顶碰头的概率在0.01以下设计的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N(170,36)，问车门高度应至少设计为多少
题目解答
答案
解答：
首先，我们需要找到男子与车门顶碰头的身高范围。由于身高X服从正态分布，我们可以使用标准正态分布的性质来计算。
标准正态分布的性质告诉我们，对于一个标准正态分布的随机变量Z，当Z取值在-2.33到2.33之间时，概率约为0.99。我们可以将男子的身高X标准化为Z分布，然后计算Z取值范围对应的身高范围。
标准化公式为：Z = (X - μ) / σ
将男子的身高X标准化得到：
Z = (X - 170) / √36 = (X - 170) / 6
当Z取值在-2.33到2.33之间时，概率约为0.99，即：
-2.33 ≤ (X - 170) / 6 ≤ 2.33
解此不等式可以得到：
-2.33 * 6 ≤ X - 170 ≤ 2.33 * 6
化简后得到：
-13.98 ≤ X - 170 ≤ 13.98
进一步变形得到：
156.02 ≤ X ≤ 183.98
所以，男子与车门顶碰头的身高范围为156.02 cm 到 183.98 cm。
为了确保男子与车门顶碰头的概率在0.01以下，车门的设计高度应至少为183.98 cm。
解析
步骤 1：确定男子身高的分布参数
男子身高X服从正态分布N(170,36)，其中170是均值μ，36是方差σ^2，因此标准差σ=√36=6。
步骤 2：确定男子与车门顶碰头的概率
题目要求男子与车门顶碰头的概率在0.01以下，即P(X > h) ≤ 0.01，其中h是车门高度。
步骤 3：计算男子与车门顶碰头的身高范围
根据标准正态分布的性质，当Z取值在-2.33到2.33之间时，概率约为0.99。因此，当Z取值在2.33以上时，概率约为0.01。将男子的身高X标准化为Z分布，然后计算Z取值范围对应的身高范围。
标准化公式为：Z = (X - μ) / σ
将男子的身高X标准化得到：
Z = (X - 170) / 6
当Z取值在2.33以上时，概率约为0.01，即：
(X - 170) / 6 ≥ 2.33
解此不等式可以得到：
X - 170 ≥ 2.33 * 6
化简后得到：
X ≥ 170 + 2.33 * 6
进一步变形得到：
X ≥ 183.98
所以，男子与车门顶碰头的身高范围为183.98 cm以上。
步骤 4：确定车门高度
为了确保男子与车门顶碰头的概率在0.01以下，车门的设计高度应至少为183.98 cm。
男子身高X服从正态分布N(170,36)，其中170是均值μ，36是方差σ^2，因此标准差σ=√36=6。
步骤 2：确定男子与车门顶碰头的概率
题目要求男子与车门顶碰头的概率在0.01以下，即P(X > h) ≤ 0.01，其中h是车门高度。
步骤 3：计算男子与车门顶碰头的身高范围
根据标准正态分布的性质，当Z取值在-2.33到2.33之间时，概率约为0.99。因此，当Z取值在2.33以上时，概率约为0.01。将男子的身高X标准化为Z分布，然后计算Z取值范围对应的身高范围。
标准化公式为：Z = (X - μ) / σ
将男子的身高X标准化得到：
Z = (X - 170) / 6
当Z取值在2.33以上时，概率约为0.01，即：
(X - 170) / 6 ≥ 2.33
解此不等式可以得到：
X - 170 ≥ 2.33 * 6
化简后得到：
X ≥ 170 + 2.33 * 6
进一步变形得到：
X ≥ 183.98
所以，男子与车门顶碰头的身高范围为183.98 cm以上。
步骤 4：确定车门高度
为了确保男子与车门顶碰头的概率在0.01以下，车门的设计高度应至少为183.98 cm。