[4.4]设总体X的概率分布为-|||-X o 1 2 3-|||-p θ^2 (1-theta ) θ^2 1-20-|||-其中 theta (0lt theta lt dfrac (1)(2)) 是未知参数,利用总体X的如下样本值-|||-3,1,3,0,3,1,2,3-|||-求θ的矩估计值和最大似然估计值.

考查要点：本题主要考查矩估计法和最大似然估计法的应用，涉及离散型随机变量的期望计算及似然函数的构造与求解。

解题核心思路：

1. 矩估计：利用总体均值（一阶原点矩）与样本均值相等建立方程，解方程得到参数估计值。
2. 最大似然估计：通过构造似然函数，取对数后求导，解方程得到驻点，结合参数范围确定最终估计值。

破题关键点：

• 矩估计的关键是正确计算总体期望$EX$，并代入样本均值求解。
• 最大似然估计需注意似然函数的正确构造，尤其注意各取值对应的概率项次数，以及求导后方程的化简与求解。

矩估计

1. 计算总体期望：
   $EX = 0 \cdot \theta^2 + 1 \cdot 2\theta(1-\theta) + 2 \cdot \theta^2 + 3 \cdot (1-2\theta) = 3 - 4\theta$
2. 计算样本均值：
   $\overline{X} = \frac{1}{8}(3+1+3+0+3+1+2+3) = 2$
3. 建立方程：
   $EX = \overline{X} \implies 3 - 4\theta = 2 \implies \hat{\theta} = \frac{1}{4}$

最大似然估计

1. 构造似然函数：
   $L(\theta) = \theta^2 \cdot [2\theta(1-\theta)]^2 \cdot \theta^2 \cdot (1-2\theta)^4 = 4\theta^6(1-\theta)^2(1-2\theta)^4$
2. 取对数并求导：
   $\ln L(\theta) = \ln 4 + 6\ln\theta + 2\ln(1-\theta) + 4\ln(1-2\theta)$
   $\frac{d\ln L}{d\theta} = \frac{6}{\theta} - \frac{2}{1-\theta} - \frac{8}{1-2\theta}$
3. 解方程求驻点：
   令导数为0，化简得二次方程：
   $24\theta^2 - 28\theta + 6 = 0 \implies \theta = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{12}$
4. 确定有效解：
   由于$0 < \theta < \frac{1}{2}$，故取$\hat{\theta} = \frac{7 - \sqrt{13}}{12}$。