题目

3 由经验知某零件质量X~N(15，0.05²)(单位：g)，技术革新后，抽出6个零件，测得质量为14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6.已知方差不变，问平均质量是否仍为15g(取α=0.05)?

3 由经验知某零件质量X~N(15，0.05²)(单位：g)，技术革新后，抽出6个零件，测得质量为 14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6. 已知方差不变，问平均质量是否仍为15g(取α=0.05)?

题目解答

答案

设零件质量 $X \sim N(\mu, 0.05^2)$，假设 $H_0: \mu = 15$，$H_1: \mu \neq 15$。 已知 $\sigma = 0.05$，$n = 6$，$\alpha = 0.05$，双侧检验临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。 计算样本均值 $\bar{X} = 14.9$，统计量 \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{14.9 - 15}{0.05 / \sqrt{6}} \approx -4.899. \] 因 $|Z| \approx 4.899 > 1.96$，拒绝 $H_0$。 或计算 $p$ 值近似为 $0 < \alpha$，同样拒绝 $H_0$。 **结论：** 不能认为平均质量仍为15g。 \[ \boxed{\text{不能认为平均质量仍为15g}} \]

解析

考查要点：本题主要考查正态总体均值的假设检验，涉及Z检验的应用，需掌握双侧检验的判断方法及临界值的确定。

解题核心思路：

  1. 确定假设形式：根据题意，原假设$H_0: \mu = 15$，备择假设$H_1: \mu \neq 15$，属于双侧检验。
  2. 计算检验统计量：利用公式$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中$\sigma$已知，直接代入数据计算。
  3. 判断临界值或p值：比较统计量绝对值与临界值$Z_{0.025} = 1.96$，或通过p值与$\alpha = 0.05$对比，得出结论。

破题关键点：

  • 方差已知：直接使用Z检验，而非t检验。
  • 双侧检验临界值：需注意双侧检验的临界值范围为$\pm 1.96$。
  • 样本均值计算：需准确计算样本均值$\bar{X}$。

步骤1：建立假设

  • 原假设：$H_0: \mu = 15$（平均质量仍为15g）
  • 备择假设：$H_1: \mu \neq 15$（平均质量不等于15g）

步骤2：计算样本均值

测得数据：$14.7, 15.1, 14.8, 15.0, 15.2, 14.6$
样本均值：
$\bar{X} = \frac{14.7 + 15.1 + 14.8 + 15.0 + 15.2 + 14.6}{6} = \frac{89.4}{6} = 14.9 \, \text{g}$

步骤3：计算Z检验统计量

已知$\sigma = 0.05$，样本量$n = 6$，代入公式：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{14.9 - 15}{0.05 / \sqrt{6}} = \frac{-0.1}{0.05 / 2.449} \approx -4.899$

步骤4：确定临界值与决策

  • 双侧检验临界值：$Z_{0.025} = 1.96$
  • 比较：$|Z| \approx 4.899 > 1.96$，拒绝原假设$H_0$。

步骤5：结论

拒绝原假设，认为技术革新后零件的平均质量不再是15g。