题目
（1）设随机变量X与Y满足=lambda (x)_(0)，且=lambda (x)_(0)，=lambda (x)_(0)，则=lambda (x)_(0)_______.（2）设=lambda (x)_(0)与=lambda (x)_(0)独立同分布，并且=lambda (x)_(0)，则=lambda (x)_(0)___.
（1）设随机变量X与Y满足
，且
，
，则
_______.
（2）设
与
独立同分布，并且
，则
___.
题目解答
答案
（1）X与Y的协方差为
，则
.
（2）与独立同分布，且，则
，则
，则
.
解析
步骤 1：计算协方差
由于X与Y满足$I=\lambda {x}_{0}$，且DX=1，DY=1，所以X与Y的协方差为${\omega }_{\omega }(X,Y)=\rho x\sqrt {DX},\quad \overline {DY}=1\times \sqrt {1}\times \sqrt {1}=1$。
步骤 2：计算D(2X+Y)
根据方差的性质，$D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)+4Cu(X,Y)$，代入DX=1，DY=1，Cu(X,Y)=1，得到$D(2X+Y)=4\times 1+1+4\times 1=9$。
步骤 3：计算$\dfrac {{{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}}{2}$的分布
由于与独立同分布，且${X}_{i}\sim N(0,2)$ $\hat {z}=1,2$，则$\dfrac {{X}_{i}}{\sqrt {2}}\sim N(0,1)$ ${(\dfrac {{X}_{i}}{\sqrt {2}})}^{2}\sim {\chi }^{2}(1),i=1,2$，则${(\dfrac {{X}_{1}}{\sqrt {2}})}^{2}+{(\dfrac {{X}_{2}}{\sqrt {2}})}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$，则$\dfrac {{{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}}{2}\sim {\chi }^{2}(2)$。
由于X与Y满足$I=\lambda {x}_{0}$，且DX=1，DY=1，所以X与Y的协方差为${\omega }_{\omega }(X,Y)=\rho x\sqrt {DX},\quad \overline {DY}=1\times \sqrt {1}\times \sqrt {1}=1$。
步骤 2：计算D(2X+Y)
根据方差的性质，$D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)+4Cu(X,Y)$，代入DX=1，DY=1，Cu(X,Y)=1，得到$D(2X+Y)=4\times 1+1+4\times 1=9$。
步骤 3：计算$\dfrac {{{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}}{2}$的分布
由于与独立同分布，且${X}_{i}\sim N(0,2)$ $\hat {z}=1,2$，则$\dfrac {{X}_{i}}{\sqrt {2}}\sim N(0,1)$ ${(\dfrac {{X}_{i}}{\sqrt {2}})}^{2}\sim {\chi }^{2}(1),i=1,2$，则${(\dfrac {{X}_{1}}{\sqrt {2}})}^{2}+{(\dfrac {{X}_{2}}{\sqrt {2}})}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$，则$\dfrac {{{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}}{2}\sim {\chi }^{2}(2)$。