5.7 设母体 xi sim b(1,p) (二点分布),(ξ 1,ξ2,···,5n)为取自此母体的一-|||-个子样,ξ为子样均值.-|||-(2)若 in (0,1) 为未知数,则对每个p,子样容量n应取多大才能使-|||-((||)_(xi )-(p|)^2)leqslant 0.01

考查要点：本题主要考查样本均值的方差计算以及最值问题的应用。需要理解二点分布（伯努利分布）的性质，并掌握如何通过调整样本容量使方差满足给定条件。

解题核心思路：

1. 明确样本均值的方差公式：对于独立同分布的样本，样本均值的方差为单个样本方差除以样本容量$n$。
2. 分析目标条件：题目要求$E[(\xi - p)^2] \leq 0.01$，即样本均值的方差不超过$0.01$。
3. 最值处理：由于$p(1-p)$的最大值出现在$p=0.5$时，需通过求最大值确定$n$的最小取值。

破题关键点：

• 正确写出样本均值的方差表达式：$\text{Var}(\xi) = \frac{p(1-p)}{n}$。
• 找到$p(1-p)$的最大值：利用二次函数性质确定最大值为$0.25$。
• 代入不等式求解$n$：确保$\frac{0.25}{n} \leq 0.01$，从而得到$n \geq 25$。

步骤1：计算样本均值的方差

母体$\xi \sim b(1,p)$，其方差为$p(1-p)$。样本均值$\xi$的方差为：
$\text{Var}(\xi) = \frac{p(1-p)}{n}$

步骤2：建立不等式条件

题目要求：
$E[(\xi - p)^2] = \text{Var}(\xi) \leq 0.01$
即：
$\frac{p(1-p)}{n} \leq 0.01$

步骤3：求$p(1-p)$的最大值

函数$p(1-p)$在$p \in (0,1)$时的最大值为：
$\max_{p \in (0,1)} p(1-p) = \frac{1}{4} \quad (\text{当} \ p=0.5 \ \text{时取得})$

步骤4：求解最小样本容量$n$

将最大值代入不等式：
$\frac{0.25}{n} \leq 0.01 \implies n \geq \frac{0.25}{0.01} = 25$