题目

样本 X_(1),X_(2),X_(3),X_(4) 取自正态分布总体 bar(X)，E(bar(X))=mu 为已知，D(bar(X))=sigma^2 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（）. A. bar(X)=(1)/(4)sum_(i=1)^4X_(i) B. X_(1)+X_(4)-2mu C. (1)/(sigma^2)sum_(i=1)^4(X_(i)-bar(X))^2 D. S^2=(1)/(3)sum_(i=1)^4(X_(i)-bar(X))^2

样本 $X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$ 取自正态分布总体 $\bar{X}$，$E(\bar{X})=\mu$ 为已知，$D(\bar{X})=\sigma^{2}$ 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（）.
A. $\bar{X}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_{i}$
B. $X_{1}+X_{4}-2\mu$
C. $\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{4}(X_{i}-\bar{X})^{2}$
D. $S^{2}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{4}(X_{i}-\bar{X})^{2}$

题目解答

答案

统计量是样本的函数且不包含未知参数。已知 $E(X) = \mu$（已知），$D(X) = \sigma^2$（未知），分析各选项： - **选项A**：$\bar{X} = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} X_i$，仅含样本，无未知参数，是统计量。 - **选项B**：$X_1 + X_4 - 2\mu$，含已知参数 $\mu$，无未知参数，是统计量。 - **选项C**：$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{4} (X_i - \bar{X})^2$，含未知参数 $\sigma^2$，非统计量。 - **选项D**：$S^2 = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{4} (X_i - \bar{X})^2$，仅含样本，无未知参数，是统计量。答案：$\boxed{C}$

解析

统计量的定义是样本的函数，且不包含总体的未知参数。本题中，总体均值$\mu$已知，方差$\sigma^2$未知。需判断各选项是否含未知参数$\sigma^2$，若含则不能作为统计量。

关键点：

统计量中允许出现已知参数（如$\mu$），但不能包含未知参数（如$\sigma^2$）。
样本方差的计算中，若分母为$n$（如选项C），则可能隐含$\sigma^2$；若分母为$n-1$（如选项D），则为无偏估计，不含未知参数。

选项分析

选项A

$\bar{X} = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_i$

仅包含样本$X_1,X_2,X_3,X_4$，无任何参数。
结论：是统计量。

选项B

$X_1 + X_4 - 2\mu$

包含已知参数$\mu$，但$\mu$已知，不影响统计量性质。
结论：是统计量。

选项C

$\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{4}(X_i - \bar{X})^{2}$

分子为样本方差的平方和，分母为未知参数$\sigma^2$。
结论：含未知参数$\sigma^2$，不能作为统计量。

选项D

$S^{2} = \frac{1}{3}\sum_{i=1}^{4}(X_i - \bar{X})^{2}$

分母为$n-1=3$，计算中不涉及$\sigma^2$，仅依赖样本。
结论：是统计量。