题目

19/32 单选题(2分)设(X_(1),X_(2),...,X_(n))是来自具有X^2(n)分布的样本，则Eoverline(X)和Doverline(X)的值为（）。A Eoverline(X)=n,Doverline(X)=2B Eoverline(X)=n,Doverline(X)=2nC Eoverline(X)=1,Doverline(X)=2D Eoverline(X)=(1)/(n),Doverline(X)=n

19/32 单选题(2分) 设$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是来自具有$X^{2}(n)$分布的样本，则$E\overline{X}$和$D\overline{X}$的值为（）。 A $E\overline{X}=n,D\overline{X}=2$ B $E\overline{X}=n,D\overline{X}=2n$ C $E\overline{X}=1,D\overline{X}=2$ D $E\overline{X}=\frac{1}{n},D\overline{X}=n$

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $\chi^2(n)$ 分布的样本，每个 $X_i$ 的期望为 $E(X_i) = n$，方差为 $D(X_i) = 2n$。 样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，其期望和方差分别为： \[ E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot n = n \] \[ D(\overline{X}) = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 2n = 2 \] 或者，利用样本均值性质： \[ E(\overline{X}) = \mu = n, \quad D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{2n}{n} = 2 \] 因此，正确答案为： \[ \boxed{A} \]

解析

考查要点：本题主要考查卡方分布的性质以及样本均值的期望与方差的计算。

解题核心思路：

  1. 卡方分布的基本性质：若随机变量服从卡方分布$\chi^2(n)$，则其期望为$E(X) = n$，方差为$D(X) = 2n$。
  2. 样本均值的性质：对于独立同分布的样本，样本均值的期望等于总体期望，方差等于总体方差除以样本量。

破题关键点：

  • 明确每个样本的期望和方差；
  • 利用线性性质计算样本均值的期望和方差。

设$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$是来自$\chi^2(n)$分布的样本，则每个$X_i$的期望和方差为：
$E(X_i) = n, \quad D(X_i) = 2n.$

样本均值$\overline{X}$的计算公式为：
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i.$

计算期望：
$E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot n = n.$

计算方差：
$D(\overline{X}) = D\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \left( \frac{1}{n} \right)^2 \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 2n = 2.$

因此，$E\overline{X} = n$，$D\overline{X} = 2$，对应选项A。