题目
例7.21 某厂甲、乙、丙三车间生产同一产品,其产量依次占全厂的45%,-|||-35%,20%,各车间的次品率依次为0.02,0.04,0.05.(1)求该厂产品的次品率;-|||-(2)现从该厂产品中任取一件发现它是次品,问它最可能是哪个车间生产的.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
令 ${A}_{1}$, ${A}_{2}$, ${A}_{3}$ 分别表示任取一件是甲、乙、丙车间生产的;B表示 "任取一件发现它是次品".显然 ${A}_{i}$, $i=1,2,3$ 为完备事件组.已知 $P({A}_{1})=0.45$, $P({A}_{2})=0.35$, $P({A}_{3})=0.20$ $P(B|{A}_{1})=0.02$ $P(B|{A}_{2})=0.04$ $P(B|{A}_{3})=0.05$.
步骤 2：计算全厂产品的次品率
由全概率公式得
$$
P(B)=\sum_{i=1}^{3}P(A_i)P(B|A_i)=0.45\times0.02+0.35\times0.04+0.20\times0.05=0.033
$$
步骤 3：计算逆概率
由逆概率公式得
$$
P({A}_{1}|B)=\dfrac {P({A}_{1})P(B|{A}_{1})}{P(B)}=\dfrac {0.45\times0.02}{0.033}=\dfrac {9}{33}
$$
同理可求
$$
P({A}_{2}|B)=\dfrac {P({A}_{2})P(B|{A}_{2})}{P(B)}=\dfrac {0.35\times0.04}{0.033}=\dfrac {14}{33}
$$
$$
P({A}_{3}|B)=\dfrac {P({A}_{3})P(B|{A}_{3})}{P(B)}=\dfrac {0.20\times0.05}{0.033}=\dfrac {10}{33}
$$
因此,它最可能是乙车间生产的.
令 ${A}_{1}$, ${A}_{2}$, ${A}_{3}$ 分别表示任取一件是甲、乙、丙车间生产的;B表示 "任取一件发现它是次品".显然 ${A}_{i}$, $i=1,2,3$ 为完备事件组.已知 $P({A}_{1})=0.45$, $P({A}_{2})=0.35$, $P({A}_{3})=0.20$ $P(B|{A}_{1})=0.02$ $P(B|{A}_{2})=0.04$ $P(B|{A}_{3})=0.05$.
步骤 2：计算全厂产品的次品率
由全概率公式得
$$
P(B)=\sum_{i=1}^{3}P(A_i)P(B|A_i)=0.45\times0.02+0.35\times0.04+0.20\times0.05=0.033
$$
步骤 3：计算逆概率
由逆概率公式得
$$
P({A}_{1}|B)=\dfrac {P({A}_{1})P(B|{A}_{1})}{P(B)}=\dfrac {0.45\times0.02}{0.033}=\dfrac {9}{33}
$$
同理可求
$$
P({A}_{2}|B)=\dfrac {P({A}_{2})P(B|{A}_{2})}{P(B)}=\dfrac {0.35\times0.04}{0.033}=\dfrac {14}{33}
$$
$$
P({A}_{3}|B)=\dfrac {P({A}_{3})P(B|{A}_{3})}{P(B)}=\dfrac {0.20\times0.05}{0.033}=\dfrac {10}{33}
$$
因此,它最可能是乙车间生产的.