25.设总体为韦布尔分布,其密度函数为-|||-(x,m,n)=dfrac (m{x)^m-1}({n)^m}ep[ -((dfrac {x)(n))}^m] gt 0, gt 0 gt 0.-|||-现从中得到样本x1,x2,···,xn,证明x(1)仍服从韦布尔分布,并指出其参数.

步骤 1：确定总体的分布函数
总体的密度函数为 $p(x;m,n)=\dfrac {m{x}^{m-1}}{{n}^{m}}\in {N}^{*}\{ -{(\dfrac {x}{n})}^{m}\} $，其中 $x\gt 0$，$m\gt 0$，$n\gt 0$。根据密度函数，可以确定总体的分布函数 $F(x)$ 为：
$$
F(x) = 1 - e^{-\left(\frac{x}{n}\right)^m}
$$
步骤 2：确定最小次序统计量的分布函数
最小次序统计量 $x_{(1)}$ 的分布函数为：
$$
F_{x_{(1)}}(x) = 1 - P(x_{(1)} > x) = 1 - (1 - F(x))^n
$$
将总体的分布函数 $F(x)$ 代入上式，得到：
$$
F_{x_{(1)}}(x) = 1 - \left(1 - \left(1 - e^{-\left(\frac{x}{n}\right)^m}\right)\right)^n = 1 - e^{-n\left(\frac{x}{n}\right)^m}
$$
步骤 3：确定最小次序统计量的密度函数
最小次序统计量 $x_{(1)}$ 的密度函数为：
$$
p_{x_{(1)}}(x) = \frac{d}{dx} F_{x_{(1)}}(x) = \frac{d}{dx} \left(1 - e^{-n\left(\frac{x}{n}\right)^m}\right)
$$
计算导数，得到：
$$
p_{x_{(1)}}(x) = \frac{m}{n} \left(\frac{x}{n}\right)^{m-1} e^{-n\left(\frac{x}{n}\right)^m}
$$
步骤 4：确定最小次序统计量的参数
比较最小次序统计量的密度函数 $p_{x_{(1)}}(x)$ 与韦布尔分布的密度函数 $p(x;m,n)$，可以发现最小次序统计量 $x_{(1)}$ 仍服从韦布尔分布，其参数为 $m$ 和 $n' = \frac{n}{n^{1/m}}$。