题目
设总体X~N(μ,σ2),其中σ2已知,若已知样本容量和置信度1—α均不变,则对于不同的样本观测值,总体均值μ的置信区间的长度( ).A. 变长B. 变短C. 不变D. 不能确定
设总体X~N(μ,σ2),其中σ2已知,若已知样本容量和置信度1—α均不变,则对于不同的样本观测值,总体均值μ的置信区间的长度( ).
A. 变长
B. 变短
C. 不变
D. 不能确定
题目解答
答案
C. 不变
解析
步骤 1：理解置信区间
置信区间是统计学中用来估计总体参数的一个区间估计。对于正态分布的总体，当总体方差已知时，总体均值μ的置信区间可以表示为：\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]，其中，\(\bar{x}\)是样本均值，\(z_{\alpha/2}\)是标准正态分布的分位数，\(\sigma\)是总体标准差，\(n\)是样本容量。
步骤 2：分析置信区间长度
置信区间的长度由公式\[ 2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]给出。可以看出，置信区间的长度与样本均值\(\bar{x}\)无关，只与置信水平\(1-\alpha\)、总体标准差\(\sigma\)和样本容量\(n\)有关。因此，只要\(1-\alpha\)、\(\sigma\)和\(n\)不变，置信区间的长度就不会改变。
步骤 3：结论
由于题目中指出样本容量和置信度\(1-\alpha\)均不变，因此，对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度不变。
置信区间是统计学中用来估计总体参数的一个区间估计。对于正态分布的总体，当总体方差已知时，总体均值μ的置信区间可以表示为：\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]，其中，\(\bar{x}\)是样本均值，\(z_{\alpha/2}\)是标准正态分布的分位数，\(\sigma\)是总体标准差，\(n\)是样本容量。
步骤 2：分析置信区间长度
置信区间的长度由公式\[ 2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]给出。可以看出，置信区间的长度与样本均值\(\bar{x}\)无关，只与置信水平\(1-\alpha\)、总体标准差\(\sigma\)和样本容量\(n\)有关。因此，只要\(1-\alpha\)、\(\sigma\)和\(n\)不变，置信区间的长度就不会改变。
步骤 3：结论
由于题目中指出样本容量和置信度\(1-\alpha\)均不变，因此，对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度不变。