某制药厂研制了一种新药，宣称治疗某种疾病的有效率为90％，随机选择了10个病人，使用该药治疗后．(1)预测治愈人数为多少？(2)若治愈人数不超过6，是否有理由怀疑该制药厂的宣传？

考查要点：本题主要考查二项分布的期望计算以及假设检验的基本思想。

解题思路：

1. 第（1）题：直接利用二项分布的期望公式计算预测治愈人数，即$E(X) = n \cdot p$。
2. 第（2）题：通过二项分布的概率计算，判断“治愈人数不超过6”的小概率事件是否发生，从而决定是否拒绝原假设（即是否怀疑宣传）。

破题关键：

• 期望值公式的应用是第（1）题的核心。
• 第（2）题需理解小概率事件的实际意义，若观测值与期望偏差过大，则需怀疑原假设。

第（1）题

确定分布类型

题目中治愈人数服从二项分布，参数为$n=10$（独立病人数），$p=0.9$（治愈概率）。

计算期望值

根据二项分布的期望公式：
$E(X) = n \cdot p = 10 \cdot 0.9 = 9$
因此，预测治愈人数为$9$。

第（2）题

建立假设

• 原假设$H_0$：治愈率$p=0.9$（制药厂宣传真实）。
• 备择假设$H_1$：治愈率$p < 0.9$（制药厂宣传不真实）。

计算小概率

若$H_0$成立，治愈人数$X \sim \text{B}(10, 0.9)$。需计算$P(X \leq 6)$：
$P(X \leq 6) = \sum_{k=0}^{6} \binom{10}{k} (0.9)^k (0.1)^{10-k}$
通过计算或查表可得：
$P(X \leq 6) \approx 0.003$

判断结果

若显著性水平$\alpha=0.05$，因$0.003 < 0.05$，拒绝$H_0$，即有理由怀疑制药厂的宣传。