一批物料总共400捆,各捆间标准偏差的估计值σ为0.40%,如果允许误差为0.30%,假定置信-|||-度为90%,试计算采样时的基本单元数。

考查要点：本题主要考查统计学中样本量确定的方法，涉及t分布的应用及迭代计算的思路。关键在于理解在小样本情况下，如何通过调整t值来精确计算所需样本量。

解题核心思路：

1. 公式基础：样本量公式为 $n = \left( \dfrac{t \cdot \sigma}{E} \right)^2$，其中 $t$ 是置信度对应的t值，$\sigma$ 是标准差，$E$ 是允许误差。
2. 迭代调整：由于t值依赖于样本量 $n$（小样本时需用t分布），需通过反复计算调整 $n$，直到结果稳定。
3. 收敛判断：当连续两次计算的 $n$ 相等时，计算终止。

破题关键点：

• 初始假设：若 $n$ 未知，先假设 $n$ 趋近于无穷大（用z值近似）。
• 查表更新：每次根据当前 $n$ 查t值表，代入公式重新计算 $n$，直至收敛。

步骤1：初始假设与第一次计算

假设 $n = \infty$，对应z值为 $t = 1.64$（90%置信度）。
代入公式：
$n = \left( \dfrac{1.64 \times 0.40\%}{0.30\%} \right)^2 = \left( \dfrac{1.64 \times 0.4}{0.3} \right)^2 \approx 4.78 \approx 5$

步骤2：根据 $n=5$ 查t值并重新计算

自由度 $df = 5 - 1 = 4$，查t表得 $t = 2.13$。
代入公式：
$n = \left( \dfrac{2.13 \times 0.40\%}{0.30\%} \right)^2 = \left( \dfrac{2.13 \times 0.4}{0.3} \right)^2 \approx 8.07 \approx 8$

步骤3：根据 $n=8$ 查t值并重新计算

自由度 $df = 8 - 1 = 7$，查t表得 $t = 1.90$。
代入公式：
$n = \left( \dfrac{1.90 \times 0.40\%}{0.30\%} \right)^2 = \left( \dfrac{1.90 \times 0.4}{0.3} \right)^2 \approx 6.42 \approx 6$

步骤4：根据 $n=6$ 查t值并重新计算

自由度 $df = 6 - 1 = 5$，查t表得 $t = 2.02$。
代入公式：
$n = \left( \dfrac{2.02 \times 0.40\%}{0.30\%} \right)^2 = \left( \dfrac{2.02 \times 0.4}{0.3} \right)^2 \approx 7.25 \approx 7$

步骤5：根据 $n=7$ 查t值并验证收敛

自由度 $df = 7 - 1 = 6$，查t表得 $t = 1.94$。
代入公式：
$n = \left( \dfrac{1.94 \times 0.40\%}{0.30\%} \right)^2 = \left( \dfrac{1.94 \times 0.4}{0.3} \right)^2 \approx 6.69 \approx 7$
此时 $n$ 不再变化，计算终止。