题目
已知构件某点处于二向应力状态,应力情况如图,求该点处主平面的方位和主应力值,求倾角α为-37.50的斜截面上应力.20MNPa-|||-→30MPa-|||-+ 40MP=
已知构件某点处于二向应力状态,应力情况如图,求该点处主平面的方位和主应力值,求倾角α为-37.50的斜截面上应力.
题目解答
答案
最佳答案
解:求主应力和主平面
已知应力值:σx=40Mpa; σy=-20MPa;τx=-30Mpa
3分
求主平面方位:
则一个主平面与x的夹角αp为45/2=+22.5 1分
根据两个主平面相互垂直,得另一个主平面方位为22.5+90=+112。5。
求主应力值:
3分
则主应力 σ1=52。4Mpa σ3=—32。4Mpa σ2=0 3分
求倾斜截面上的应力 将已知的应力和倾角代入公式:
根据垂直与零应力面地任意两个相互垂直的截面上的正应力之和不变原则,可得该倾斜面
的另一正应力。
3分
3分
2分
根据剪应力互等定理得:
2分
解析
步骤 1：确定已知应力值
已知应力值: σx=40Mpa; σy=-20MPa; τx=-30MPa
步骤 2：计算主平面方位
$\tan 2{\alpha }_{P}=-\dfrac {2{T}_{x}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}=-\dfrac {2(-30)}{40-(-20)}=1.0$
求主平面方位:
则一个主平面与x的夹角αp为45/2=+22.5
根据两个主平面相互垂直,得另一个主平面方位为22.5+90=+112.5。
步骤 3：计算主应力值
${\int }_{max}_{min}^{2}=\dfrac {{x}_{x}+{y}_{y}}{2}+\sqrt {\dfrac {{x}_{x}-{y}_{2}}{2}+{{t}_{x}}^{2}}}$ $=\dfrac {40+(-20)}{2}+\sqrt {{[ \dfrac {(40-(-20))}{2}] }^{2}+{(-30)}^{2}}}$ =52.4MPa -32.4MPa
则主应力 σ1=52.4Mpa σ3=—32.4Mpa σ2=0
步骤 4：计算倾斜截面上的应力
将已知的应力和倾角代入公式:
根据垂直与零应力面地任意两个相互垂直的截面上的正应力之和不变原则,可得该倾斜面
的另一正应力。
${a}_{a}=\dfrac {{x}_{x}+{y}_{y}}{2}+\dfrac {{x}_{x}-{y}_{2}}{2}\cos 2a-{T}_{x}\sin 2a$ $=\dfrac {40+(-20)}{2}+\dfrac {40-(-20)}{2}\cos (-{75}^{\circ })-(-30)\sin (-{75}^{\circ })$ =10+7.76-29.0=-11.24MPa
${x}_{\alpha }=\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\sin 2a+{T}_{x}\cos 2a$ $=\dfrac {40-(-20)}{2}\sin (-{75}^{\circ })+(-30)\cos (-{75}^{\circ })$ =-29.0-7.76=-36.8MPa
$\beta ={\alpha }_{x}+{\alpha }_{y}-{\alpha }_{\alpha }=40-20+11.2=31.2MPa$
根据剪应力互等定理得:
$\beta =-{I}_{\alpha }=36.8MPa$
已知应力值: σx=40Mpa; σy=-20MPa; τx=-30MPa
步骤 2：计算主平面方位
$\tan 2{\alpha }_{P}=-\dfrac {2{T}_{x}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}=-\dfrac {2(-30)}{40-(-20)}=1.0$
求主平面方位:
则一个主平面与x的夹角αp为45/2=+22.5
根据两个主平面相互垂直,得另一个主平面方位为22.5+90=+112.5。
步骤 3：计算主应力值
${\int }_{max}_{min}^{2}=\dfrac {{x}_{x}+{y}_{y}}{2}+\sqrt {\dfrac {{x}_{x}-{y}_{2}}{2}+{{t}_{x}}^{2}}}$ $=\dfrac {40+(-20)}{2}+\sqrt {{[ \dfrac {(40-(-20))}{2}] }^{2}+{(-30)}^{2}}}$ =52.4MPa -32.4MPa
则主应力 σ1=52.4Mpa σ3=—32.4Mpa σ2=0
步骤 4：计算倾斜截面上的应力
将已知的应力和倾角代入公式:
根据垂直与零应力面地任意两个相互垂直的截面上的正应力之和不变原则,可得该倾斜面
的另一正应力。
${a}_{a}=\dfrac {{x}_{x}+{y}_{y}}{2}+\dfrac {{x}_{x}-{y}_{2}}{2}\cos 2a-{T}_{x}\sin 2a$ $=\dfrac {40+(-20)}{2}+\dfrac {40-(-20)}{2}\cos (-{75}^{\circ })-(-30)\sin (-{75}^{\circ })$ =10+7.76-29.0=-11.24MPa
${x}_{\alpha }=\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\sin 2a+{T}_{x}\cos 2a$ $=\dfrac {40-(-20)}{2}\sin (-{75}^{\circ })+(-30)\cos (-{75}^{\circ })$ =-29.0-7.76=-36.8MPa
$\beta ={\alpha }_{x}+{\alpha }_{y}-{\alpha }_{\alpha }=40-20+11.2=31.2MPa$
根据剪应力互等定理得:
$\beta =-{I}_{\alpha }=36.8MPa$