题目
设随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ22），且P{|X-μ1|＜1}＞P{|Y-μ2|＜1}，则必有 （ ）A. σ1＜σ2B. σ1＞σ2C. μ1＜μ2D. μ1＞μ2
设随机变量X服从正态分布N（μ
1，σ
1
2），Y服从正态分布N（μ
2，σ
2
2），且P{|X-μ
1|＜1}＞P{|Y-μ
2|＜1}，则必有 （ ）
A. σ 1＜σ 2
B. σ 1＞σ 2
C. μ 1＜μ 2
D. μ 1＞μ 2
A. σ 1＜σ 2
B. σ 1＞σ 2
C. μ 1＜μ 2
D. μ 1＞μ 2
题目解答
答案
由题设可得：
P{
＜
}＞P{
＜
}，
则： 2Φ(
)−1＞2Φ(
)−1，
即： Φ(
)＞Φ(
)，
其中Φ（x）是标准正态分布的分布函数，
又Φ（x）是单调不减函数，
则：
＞
，
即：σ 1＜σ 2．
故选：A．
P{
| |X−μ1| |
| σ1 |
| 1 |
| σ1 |
| |Y−μ2| |
| σ2 |
| 1 |
| σ2 |
则： 2Φ(
| 1 |
| σ1 |
| 1 |
| σ2 |
即： Φ(
| 1 |
| σ1 |
| 1 |
| σ2 |
其中Φ（x）是标准正态分布的分布函数，
又Φ（x）是单调不减函数，
则：
| 1 |
| σ1 |
| 1 |
| σ2 |
即：σ 1＜σ 2．
故选：A．
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率性质，特别是标准差对概率的影响，以及标准化处理的应用。
解题核心思路：
- 标准化转换：将X和Y的概率表达式转化为标准正态分布的形式，利用标准正态分布函数Φ(x)的单调性进行比较。
- 关键结论：标准差σ越小，数据越集中在均值附近，因此在固定区间长度（如1个单位）内的概率越大。
- 排除干扰项：均值μ的位置不影响区间概率的大小，因此选项C、D可排除。
标准化处理：
对于X服从N(μ₁, σ₁²)，有：
$P\{|X - μ₁| < 1\} = P\left\{ \left| \frac{X - μ₁}{σ₁} \right| < \frac{1}{σ₁} \right\} = 2Φ\left( \frac{1}{σ₁} \right) - 1$
同理，Y服从N(μ₂, σ₂²)：
$P\{|Y - μ₂| < 1\} = 2Φ\left( \frac{1}{σ₂} \right) - 1$
比较概率大小：
根据题意，有：
$2Φ\left( \frac{1}{σ₁} \right) - 1 > 2Φ\left( \frac{1}{σ₂} \right) - 1$
化简得：
$Φ\left( \frac{1}{σ₁} \right) > Φ\left( \frac{1}{σ₂} \right)$
利用Φ(x)的单调性：
由于Φ(x)是单调递增函数，上述不等式成立的充要条件是：
$\frac{1}{σ₁} > \frac{1}{σ₂} \quad \Rightarrow \quad σ₁ < σ₂$
结论：σ₁ < σ₂，故选A。