题目
设随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ22），且P{|X-μ1|＜1}＞P{|Y-μ2|＜1}，则必有 （ ）A. σ1＜σ2B. σ1＞σ2C. μ1＜μ2D. μ1＞μ2
设随机变量X服从正态分布N（μ
1，σ
1
2），Y服从正态分布N（μ
2，σ
2
2），且P{|X-μ
1|＜1}＞P{|Y-μ
2|＜1}，则必有 （ ）
A. σ 1＜σ 2
B. σ 1＞σ 2
C. μ 1＜μ 2
D. μ 1＞μ 2
A. σ 1＜σ 2
B. σ 1＞σ 2
C. μ 1＜μ 2
D. μ 1＞μ 2
题目解答
答案
由题设可得：
P{
＜
}＞P{
＜
}，
则： 2Φ(
)−1＞2Φ(
)−1，
即： Φ(
)＞Φ(
)，
其中Φ（x）是标准正态分布的分布函数，
又Φ（x）是单调不减函数，
则：
＞
，
即：σ 1＜σ 2．
故选：A．
P{
| |X−μ1| |
| σ1 |
| 1 |
| σ1 |
| |Y−μ2| |
| σ2 |
| 1 |
| σ2 |
则： 2Φ(
| 1 |
| σ1 |
| 1 |
| σ2 |
即： Φ(
| 1 |
| σ1 |
| 1 |
| σ2 |
其中Φ（x）是标准正态分布的分布函数，
又Φ（x）是单调不减函数，
则：
| 1 |
| σ1 |
| 1 |
| σ2 |
即：σ 1＜σ 2．
故选：A．
解析
步骤 1：标准化正态分布
将随机变量X和Y标准化，即转换为标准正态分布。对于X，我们有：
\[ P\left\{\left|\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}\right| < \frac{1}{\sigma_1}\right\} = P\left\{\left|Z_1\right| < \frac{1}{\sigma_1}\right\} \]
其中，\(Z_1 = \frac{X-\mu_1}{\sigma_1}\) 是标准正态分布。同理，对于Y，我们有：
\[ P\left\{\left|\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\right| < \frac{1}{\sigma_2}\right\} = P\left\{\left|Z_2\right| < \frac{1}{\sigma_2}\right\} \]
其中，\(Z_2 = \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\) 也是标准正态分布。
步骤 2：利用标准正态分布的性质
根据题设条件，我们有：
\[ P\left\{\left|Z_1\right| < \frac{1}{\sigma_1}\right\} > P\left\{\left|Z_2\right| < \frac{1}{\sigma_2}\right\} \]
由于标准正态分布的对称性，上述概率可以表示为：
\[ 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1 > 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1 \]
其中，\(\Phi(x)\) 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：比较标准正态分布的累积分布函数
由于\(\Phi(x)\)是单调递增函数，上述不等式可以简化为：
\[ \Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) > \Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) \]
这意味着：
\[ \frac{1}{\sigma_1} > \frac{1}{\sigma_2} \]
从而得出：
\[ \sigma_1 < \sigma_2 \]
将随机变量X和Y标准化，即转换为标准正态分布。对于X，我们有：
\[ P\left\{\left|\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}\right| < \frac{1}{\sigma_1}\right\} = P\left\{\left|Z_1\right| < \frac{1}{\sigma_1}\right\} \]
其中，\(Z_1 = \frac{X-\mu_1}{\sigma_1}\) 是标准正态分布。同理，对于Y，我们有：
\[ P\left\{\left|\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\right| < \frac{1}{\sigma_2}\right\} = P\left\{\left|Z_2\right| < \frac{1}{\sigma_2}\right\} \]
其中，\(Z_2 = \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\) 也是标准正态分布。
步骤 2：利用标准正态分布的性质
根据题设条件，我们有：
\[ P\left\{\left|Z_1\right| < \frac{1}{\sigma_1}\right\} > P\left\{\left|Z_2\right| < \frac{1}{\sigma_2}\right\} \]
由于标准正态分布的对称性，上述概率可以表示为：
\[ 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1 > 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1 \]
其中，\(\Phi(x)\) 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：比较标准正态分布的累积分布函数
由于\(\Phi(x)\)是单调递增函数，上述不等式可以简化为：
\[ \Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) > \Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) \]
这意味着：
\[ \frac{1}{\sigma_1} > \frac{1}{\sigma_2} \]
从而得出：
\[ \sigma_1 < \sigma_2 \]