题目
随机变量Xsim N(3，(2)^2)，求以下区间概率：(1)P(2lt Xleqslant 5)；(2)P(-4lt Xlt 10)；(3)P(|X|gt 2)；(4)P(|X|lt 3)；(5)确定C值，使P(Xgeqslant C)=P(Xlt C)成立.
随机变量$X\sim N\left(3，{2}^{2}\right)$，求以下区间概率：
$\left(1\right)P\left(2\lt X\leqslant 5\right)$；
$\left(2\right)P\left(-4\lt X\lt 10\right)$；
$\left(3\right)P\left(\left|X\right|\gt 2\right)$；
$\left(4\right)P\left(\left|X\right|\lt 3\right)$；
$\left(5\right)$确定$C$值，使$P\left(X\geqslant C\right)=P\left(X\lt C\right)$成立.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算$P\left(2\lt X\leqslant 5\right)$
$P\left(2\lt X\leqslant 5\right)=P\left(\frac{2-3}{2}\lt \frac{X-3}{2}\leqslant \frac{5-3}{2}\right)=P\left(-0.5\lt Z\leqslant 1\right)$
其中$Z$是标准正态分布变量。根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant 1)=0.8413$，$P(Z\leqslant -0.5)=0.3085$。因此，$P\left(-0.5\lt Z\leqslant 1\right)=0.8413-0.3085=0.5328$。
步骤 2：计算$P\left(-4\lt X\lt 10\right)$
$P\left(-4\lt X\lt 10\right)=P\left(\frac{-4-3}{2}\lt \frac{X-3}{2}\lt \frac{10-3}{2}\right)=P\left(-3.5\lt Z\lt 3.5\right)$
根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant 3.5)=0.9998$，$P(Z\leqslant -3.5)=0.0002$。因此，$P\left(-3.5\lt Z\lt 3.5\right)=0.9998-0.0002=0.9996$。
步骤 3：计算$P\left(\left|X\right|\gt 2\right)$
$P\left(\left|X\right|\gt 2\right)=P\left(X\gt 2\right)+P\left(X\lt -2\right)=P\left(\frac{X-3}{2}\gt \frac{2-3}{2}\right)+P\left(\frac{X-3}{2}\lt \frac{-2-3}{2}\right)$
$=P\left(Z\gt -0.5\right)+P\left(Z\lt -2.5\right)=1-P\left(Z\leqslant -0.5\right)+P\left(Z\lt -2.5\right)$
$=1-0.3085+0.0062=0.6977$。
步骤 4：计算$P\left(\left|X\right|\lt 3\right)$
$P\left(\left|X\right|\lt 3\right)=P\left(-3\lt X\lt 3\right)=P\left(\frac{-3-3}{2}\lt \frac{X-3}{2}\lt \frac{3-3}{2}\right)=P\left(-3\lt Z\lt 0\right)$
根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant 0)=0.5$，$P(Z\leqslant -3)=0.0013$。因此，$P\left(-3\lt Z\lt 0\right)=0.5-0.0013=0.4987$。
步骤 5：确定$C$值，使$P\left(X\geqslant C\right)=P\left(X\lt C\right)$成立
$P\left(X\geqslant C\right)=P\left(X\lt C\right)$意味着$C$是分布的中位数，即$C=3$。
$P\left(2\lt X\leqslant 5\right)=P\left(\frac{2-3}{2}\lt \frac{X-3}{2}\leqslant \frac{5-3}{2}\right)=P\left(-0.5\lt Z\leqslant 1\right)$
其中$Z$是标准正态分布变量。根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant 1)=0.8413$，$P(Z\leqslant -0.5)=0.3085$。因此，$P\left(-0.5\lt Z\leqslant 1\right)=0.8413-0.3085=0.5328$。
步骤 2：计算$P\left(-4\lt X\lt 10\right)$
$P\left(-4\lt X\lt 10\right)=P\left(\frac{-4-3}{2}\lt \frac{X-3}{2}\lt \frac{10-3}{2}\right)=P\left(-3.5\lt Z\lt 3.5\right)$
根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant 3.5)=0.9998$，$P(Z\leqslant -3.5)=0.0002$。因此，$P\left(-3.5\lt Z\lt 3.5\right)=0.9998-0.0002=0.9996$。
步骤 3：计算$P\left(\left|X\right|\gt 2\right)$
$P\left(\left|X\right|\gt 2\right)=P\left(X\gt 2\right)+P\left(X\lt -2\right)=P\left(\frac{X-3}{2}\gt \frac{2-3}{2}\right)+P\left(\frac{X-3}{2}\lt \frac{-2-3}{2}\right)$
$=P\left(Z\gt -0.5\right)+P\left(Z\lt -2.5\right)=1-P\left(Z\leqslant -0.5\right)+P\left(Z\lt -2.5\right)$
$=1-0.3085+0.0062=0.6977$。
步骤 4：计算$P\left(\left|X\right|\lt 3\right)$
$P\left(\left|X\right|\lt 3\right)=P\left(-3\lt X\lt 3\right)=P\left(\frac{-3-3}{2}\lt \frac{X-3}{2}\lt \frac{3-3}{2}\right)=P\left(-3\lt Z\lt 0\right)$
根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant 0)=0.5$，$P(Z\leqslant -3)=0.0013$。因此，$P\left(-3\lt Z\lt 0\right)=0.5-0.0013=0.4987$。
步骤 5：确定$C$值，使$P\left(X\geqslant C\right)=P\left(X\lt C\right)$成立
$P\left(X\geqslant C\right)=P\left(X\lt C\right)$意味着$C$是分布的中位数，即$C=3$。