题目
12． 设随机变量 X，Y 均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记 p1＝P(X≤μ－4)，p2＝P(Y≥μ＋5)，则()。A.．对任何实数μ，都有 p1＝p2B.．对任何实数μ，都有 p1＜p2C.．只对μ的个别值，才有 p1＝p2D.．对任何实数μ，都有 p1＞p2
12． 设随机变量 X，Y 均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记 p1＝P{X≤μ－4}，p2＝P{Y≥μ＋5}，则()。
A.．对任何实数μ，都有 p1＝p2
B.．对任何实数μ，都有 p1＜p2
C.．只对μ的个别值，才有 p1＝p2
D.．对任何实数μ，都有 p1＞p2
A.．对任何实数μ，都有 p1＝p2
B.．对任何实数μ，都有 p1＜p2
C.．只对μ的个别值，才有 p1＝p2
D.．对任何实数μ，都有 p1＞p2
题目解答
答案
正确答案：A解析：已知 X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)所以～N(0，1)，～N(0，1)则所以，对任意的实数μ，均有 p1＝p1。 知识模块：随机变量及其分布
解析
步骤 1：标准化正态分布
对于随机变量 X 服从正态分布 N(μ, 4^2)，我们可以通过标准化将其转换为标准正态分布。标准化后的变量为 Z = (X - μ) / 4，其中 Z 服从标准正态分布 N(0, 1)。同理，对于随机变量 Y 服从正态分布 N(μ, 5^2)，标准化后的变量为 W = (Y - μ) / 5，其中 W 服从标准正态分布 N(0, 1)。
步骤 2：计算概率 p1 和 p2
根据标准化后的变量，我们可以计算概率 p1 和 p2。
- 对于 p1 = P{X ≤ μ - 4}，我们有 P{X ≤ μ - 4} = P{(X - μ) / 4 ≤ (μ - 4 - μ) / 4} = P{Z ≤ -1}。
- 对于 p2 = P{Y ≥ μ + 5}，我们有 P{Y ≥ μ + 5} = P{(Y - μ) / 5 ≥ (μ + 5 - μ) / 5} = P{W ≥ 1}。
步骤 3：利用标准正态分布的性质
由于 Z 和 W 都服从标准正态分布 N(0, 1)，我们可以利用标准正态分布的性质来计算概率。
- P{Z ≤ -1} = P{Z ≥ 1}，因为标准正态分布是关于 0 对称的。
- P{W ≥ 1} = P{Z ≥ 1}，因为 W 和 Z 都是标准正态分布变量。
因此，p1 = P{Z ≤ -1} = P{Z ≥ 1} = p2。
对于随机变量 X 服从正态分布 N(μ, 4^2)，我们可以通过标准化将其转换为标准正态分布。标准化后的变量为 Z = (X - μ) / 4，其中 Z 服从标准正态分布 N(0, 1)。同理，对于随机变量 Y 服从正态分布 N(μ, 5^2)，标准化后的变量为 W = (Y - μ) / 5，其中 W 服从标准正态分布 N(0, 1)。
步骤 2：计算概率 p1 和 p2
根据标准化后的变量，我们可以计算概率 p1 和 p2。
- 对于 p1 = P{X ≤ μ - 4}，我们有 P{X ≤ μ - 4} = P{(X - μ) / 4 ≤ (μ - 4 - μ) / 4} = P{Z ≤ -1}。
- 对于 p2 = P{Y ≥ μ + 5}，我们有 P{Y ≥ μ + 5} = P{(Y - μ) / 5 ≥ (μ + 5 - μ) / 5} = P{W ≥ 1}。
步骤 3：利用标准正态分布的性质
由于 Z 和 W 都服从标准正态分布 N(0, 1)，我们可以利用标准正态分布的性质来计算概率。
- P{Z ≤ -1} = P{Z ≥ 1}，因为标准正态分布是关于 0 对称的。
- P{W ≥ 1} = P{Z ≥ 1}，因为 W 和 Z 都是标准正态分布变量。
因此，p1 = P{Z ≤ -1} = P{Z ≥ 1} = p2。