12． 设随机变量 X，Y 均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记 p1＝P(X≤μ－4)，p2＝P(Y≥μ＋5)，则()。A. 对任何实数μ，都有 p1＝p2B. 对任何实数μ，都有 p1＜p2C. 只对μ的个别值，才有 p1＝p2D. 对任何实数μ，都有 p1＞p2

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及标准化方法，重点在于理解正态分布的对称性及其标准化后的标准正态分布的概率关系。

解题核心思路：

1. 标准化转换：将X和Y分别转化为标准正态变量Z，利用标准正态分布的对称性进行概率计算。
2. 对称性分析：通过标准化后的Z值，发现两个概率对应的标准正态分布的位置对称，从而得出概率相等的结论。

破题关键点：

• 标准化公式：对于X～N(μ,σ²)，标准化为Z=(X−μ)/σ。
• 对称性应用：标准正态分布中，P(Z ≤ −a) = P(Z ≥ a)，即两侧对称区域的概率相等。

步骤1：标准化X和Y

• X的标准化：
  X～N(μ,4²)，标准化后为：
  $Z_X = \frac{X - \mu}{4} \sim N(0,1)$
  因此，
  $p_1 = P\{X \leq \mu - 4\} = P\left\{Z_X \leq \frac{\mu - 4 - \mu}{4}\right\} = P\{Z_X \leq -1\}$

• Y的标准化：
  Y～N(μ,5²)，标准化后为：
  $Z_Y = \frac{Y - \mu}{5} \sim N(0,1)$
  因此，
  $p_2 = P\{Y \geq \mu + 5\} = P\left\{Z_Y \geq \frac{\mu + 5 - \mu}{5}\right\} = P\{Z_Y \geq 1\}$

步骤2：利用标准正态分布的对称性

• 标准正态分布的性质：
  $P\{Z \geq 1\} = 1 - P\{Z \leq 1\} = 1 - \Phi(1)$
  其中$\Phi(\cdot)$为标准正态分布的累积分布函数。
  由于标准正态分布的对称性，有：
  $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$
  因此：
  $p_1 = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = p_2$

结论

无论μ取何值，p₁和p₂始终相等，故选A。