题目

6、设随机变量X，Y相互独立，其中X服从0-1分布（p=0.6），Y服从泊松分布且E(Y)=0.6，则D(X+Y)=（ ）

6、设随机变量X，Y相互独立，其中X服从0-1分布（p=0.6），Y服从泊松分布且E(Y)=0.6，则D(X+Y)=（ ）

题目解答

答案

为了求解 $ D(X+Y) $，我们需要使用方差的性质。对于两个相互独立的随机变量 $ X $ 和 $ Y $，它们的和的方差等于它们的方差之和，即 $ D(X+Y) = D(X) + D(Y) $。 首先，我们求 $ D(X) $。随机变量 $ X $ 服从0-1分布，其参数 $ p = 0.6 $。对于0-1分布，方差 $ D(X) $ 的公式为 $ D(X) = p(1-p) $。代入 $ p = 0.6 $，我们得到： \[ D(X) = 0.6 \times (1 - 0.6) = 0.6 \times 0.4 = 0.24 \] 接下来，我们求 $ D(Y) $。随机变量 $ Y $ 服从泊松分布，其期望 $ E(Y) = 0.6 $。对于泊松分布，方差 $ D(Y) $ 等于期望 $ E(Y) $。因此，我们有： \[ D(Y) = 0.6 \] 现在，我们可以求 $ D(X+Y) $： \[ D(X+Y) = D(X) + D(Y) = 0.24 + 0.6 = 0.84 \] Thus, the answer is: \[ \boxed{0.84} \]

解析

考查要点：本题主要考查方差的性质以及常见分布（0-1分布、泊松分布）的方差计算。

解题核心思路：

  1. 利用独立随机变量和的方差性质：若$X$与$Y$独立，则$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$。
  2. 分别计算$X$和$Y$的方差：
    • 0-1分布的方差公式为$p(1-p)$；
    • 泊松分布的方差等于其均值$E(Y)$。

破题关键点：

  • 明确两种分布的方差公式，避免混淆；
  • 正确应用独立变量方差相加的性质。

步骤1：计算$D(X)$

  • $X$服从0-1分布，参数$p=0.6$，方差公式为：
    $D(X) = p(1-p) = 0.6 \times (1-0.6) = 0.6 \times 0.4 = 0.24.$

步骤2：计算$D(Y)$

  • $Y$服从泊松分布，且$E(Y)=0.6$。泊松分布的方差等于均值，因此：
    $D(Y) = E(Y) = 0.6.$

步骤3：求$D(X+Y)$

  • 因为$X$与$Y$独立，根据方差性质：
    $D(X+Y) = D(X) + D(Y) = 0.24 + 0.6 = 0.84.$