题目

1.6 总体X-N(mu,sigma^2)，x_(1),x_(2),...,x_(n)为其样本，bar(x)=(1)/(n)sum_(i=1)^nx_(i)，s_(n)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(x_(i)-bar(x))^2，则Y=(sqrt(n-1)(x-mu))/(s_(n))服从的分布为bigcircchi^2(n-1)bigcirc N(0,1)bigcirc t(n-1)bigcirc t(n)

1.6 总体$X-N(\mu,\sigma^{2})$，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为其样本，$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$，$s_{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$，则$Y=\frac{\sqrt{n-1}(x-\mu)}{s_{n}}$服从的分布为 $\bigcirc\chi^{2}(n-1)$ $\bigcirc N(0,1)$ $\bigcirc t(n-1)$ $\bigcirc t(n)$

题目解答

答案

为了确定随机变量 $ Y = \frac{\sqrt{n-1}(\bar{x} - \mu)}{s_n} $ 的分布，我们需要分析涉及的统计量的性质及其关系。 1. **识别统计量：** - 样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。 - 样本方差 $s_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的有偏估计。无偏估计是 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$。 2. **将 $s_n$ 表达为 $s^2$ 的函数：** \[ s_n^2 = \frac{n-1}{n} s^2 \implies s_n = \sqrt{\frac{n-1}{n}} s \] 3. **将 $s_n$ 代入 $Y$ 的表达式：** \[ Y = \frac{\sqrt{n-1}(\bar{x} - \mu)}{s_n} = \frac{\sqrt{n-1}(\bar{x} - \mu)}{\sqrt{\frac{n-1}{n}} s} = \frac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu)}{s} \] 4. **识别 $Y$ 的分布：** - 统计量 $\frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。 - 统计量 $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布 $\chi^2(n-1)$。 - $Y$ 的表达式是标准正态变量与卡方变量的平方根的比值，这是 $t$ 分布的定义。具体来说，如果 $Z \sim N(0,1)$ 且 $W \sim \chi^2(n-1)$ 独立，那么 $\frac{Z}{\sqrt{W/(n-1)}} \sim t(n-1)$。在我们的情况下，$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 和 $W = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$，所以： \[ Y = \frac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu)}{s} = \frac{\frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}/(n-1)}} = \frac{Z}{\sqrt{W/(n-1)}} \sim t(n-1) \] 因此，$Y$ 服从的分布是 $t(n-1)$。正确答案是 $\boxed{t(n-1)}$。

解析

考查要点：本题主要考查正态总体下统计量的分布，特别是样本均值与样本方差的性质，以及如何构造t分布。

解题核心思路：

识别关键统计量：样本均值$\bar{x}$服从正态分布，样本方差$s_n^2$是总体方差的有偏估计。
标准化处理：将样本均值的偏差标准化为标准正态变量。
关联卡方分布：利用样本方差与卡方分布的关系，构造自由度为$n-1$的卡方变量。
组合t分布：将标准正态变量与卡方变量的比值转化为t分布的形式。

破题关键点：

区分样本方差的两种形式：题目中的$s_n^2$是分母为$n$的有偏估计，需转换为无偏估计$s^2$（分母为$n-1$）。
t分布的定义：标准正态变量与独立卡方变量平方根的比值，自由度由卡方分布的自由度决定。

步骤1：标准化样本均值

样本均值$\bar{x} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化后：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

步骤2：关联样本方差与卡方分布

无偏样本方差$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$满足：
$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
题目中的$s_n^2 = \frac{n-1}{n}s^2$，因此：
$s_n = \sqrt{\frac{n-1}{n}}s$

步骤3：代入Y的表达式

将$s_n$代入$Y$：
$Y = \frac{\sqrt{n-1}(\bar{x} - \mu)}{s_n} = \frac{\sqrt{n-1}(\bar{x} - \mu)}{\sqrt{\frac{n-1}{n}}s} = \frac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu)}{s}$

步骤4：构造t分布

将$\bar{x} - \mu$和$s$用标准正态和卡方变量表示：
$Y = \frac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu)}{s} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}/(n-1)}} = \frac{Z}{\sqrt{W/(n-1)}}$
其中$Z \sim N(0,1)$，$W = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，且$Z$与$W$独立。根据t分布的定义，$Y \sim t(n-1)$。