题目
2.设总体X的分布列为-|||-(X=k)=(k-1)(theta )^2((1-theta ))^k-2 =2, 3,···, lt theta lt 1,-|||-试求未知参数θ的矩估计量。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体X的期望值
根据给定的分布列，计算总体X的期望值E(X)。期望值E(X)定义为所有可能取值的加权平均，权重为对应的概率。对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：
$$E(X) = \sum_{k=2}^{\infty} k \cdot P(X=k)$$
将给定的分布列代入，得到：
$$E(X) = \sum_{k=2}^{\infty} k \cdot (k-1)\theta^2(1-\theta)^{k-2}$$
步骤 2：化简期望值表达式
对上述求和表达式进行化简。首先，将求和项中的k提取出来，得到：
$$E(X) = \theta^2 \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)(1-\theta)^{k-2}$$
然后，利用求和公式和微分技巧，可以进一步化简上述表达式。注意到求和项可以看作是关于$(1-\theta)$的幂级数，利用幂级数的求和公式和微分性质，可以得到：
$$E(X) = \theta^2 \cdot \frac{2}{\theta^3} = \frac{2}{\theta}$$
步骤 3：求解矩估计量
矩估计量是通过将总体的矩（如期望值）与样本的矩（如样本均值）相等来估计参数的方法。根据步骤2的结果，总体X的期望值为$E(X) = \frac{2}{\theta}$。因此，将总体期望值与样本均值$\overline{X}$相等，得到：
$$\frac{2}{\theta} = \overline{X}$$
解上述方程，得到未知参数θ的矩估计量为：
$$\hat{\theta} = \frac{2}{\overline{X}}$$
根据给定的分布列，计算总体X的期望值E(X)。期望值E(X)定义为所有可能取值的加权平均，权重为对应的概率。对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：
$$E(X) = \sum_{k=2}^{\infty} k \cdot P(X=k)$$
将给定的分布列代入，得到：
$$E(X) = \sum_{k=2}^{\infty} k \cdot (k-1)\theta^2(1-\theta)^{k-2}$$
步骤 2：化简期望值表达式
对上述求和表达式进行化简。首先，将求和项中的k提取出来，得到：
$$E(X) = \theta^2 \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)(1-\theta)^{k-2}$$
然后，利用求和公式和微分技巧，可以进一步化简上述表达式。注意到求和项可以看作是关于$(1-\theta)$的幂级数，利用幂级数的求和公式和微分性质，可以得到：
$$E(X) = \theta^2 \cdot \frac{2}{\theta^3} = \frac{2}{\theta}$$
步骤 3：求解矩估计量
矩估计量是通过将总体的矩（如期望值）与样本的矩（如样本均值）相等来估计参数的方法。根据步骤2的结果，总体X的期望值为$E(X) = \frac{2}{\theta}$。因此，将总体期望值与样本均值$\overline{X}$相等，得到：
$$\frac{2}{\theta} = \overline{X}$$
解上述方程，得到未知参数θ的矩估计量为：
$$\hat{\theta} = \frac{2}{\overline{X}}$$