题目
6.已知甲单位平均奖金水平为819.7元、标准差138.14元-|||-乙两单位职工的奖金资料如下表:-|||-乙单位-|||-月奖金(元) 职工人数(人)-|||-600以下 1-|||-.600-700 2-|||-.700-800 4-|||-.800-900 12-|||-.900-1000 6-|||-.1000-1100 5-|||-合计 30-|||-要求:试比较哪个单位职工的平均奖金更有代表性。
题目解答
答案
【】
步骤 1：计算乙单位的平均奖金
根据题目给出的乙单位职工的奖金资料，我们首先需要计算乙单位的平均奖金。平均奖金的计算公式为：
\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i} \]
其中，$x_i$ 为各组的组中值，$f_i$ 为各组的职工人数。
步骤 2：计算乙单位的奖金标准差
计算标准差的公式为：
\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot f_i}{\sum f_i}} \]
其中，$x_i$ 为各组的组中值，$\bar{x}$ 为平均奖金，$f_i$ 为各组的职工人数。
步骤 3：计算甲、乙单位的奖金差异程度
奖金差异程度可以通过计算标准差与平均奖金的比值来衡量，即：
\[ \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
比值越小，说明平均奖金的代表性越强。
步骤 4：比较甲、乙单位的奖金差异程度
将甲、乙单位的奖金差异程度进行比较，从而判断哪个单位的职工平均奖金更有代表性。
【答案】
首先，计算乙单位的平均奖金：
\[ \bar{x} = \frac{550 \times 1 + 650 \times 2 + 750 \times 4 + 850 \times 12 + 950 \times 6 + 1050 \times 5}{30} = \frac{24450}{30} = 815 \text{元} \]
然后，计算乙单位的奖金标准差：
\[ \sigma = \sqrt{\frac{(550-815)^2 \times 1 + (650-815)^2 \times 2 + (750-815)^2 \times 4 + (850-815)^2 \times 12 + (950-815)^2 \times 6 + (1050-815)^2 \times 5}{30}} \]
\[ \sigma = \sqrt{\frac{714025 + 272250 + 122500 + 15000 + 1701000 + 2025000}{30}} \]
\[ \sigma = \sqrt{\frac{4904750}{30}} \]
\[ \sigma = \sqrt{163491.67} \]
\[ \sigma \approx 404.34 \text{元} \]
最后，计算甲、乙单位的奖金差异程度：
甲单位的奖金差异程度为：
\[ \frac{138.14}{819.7} \approx 0.168 \]
乙单位的奖金差异程度为：
\[ \frac{404.34}{815} \approx 0.496 \]
比较甲、乙单位的奖金差异程度，甲单位的奖金差异程度更小，因此甲单位的职工平均奖金更有代表性。
步骤 1：计算乙单位的平均奖金
根据题目给出的乙单位职工的奖金资料，我们首先需要计算乙单位的平均奖金。平均奖金的计算公式为：
\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i} \]
其中，$x_i$ 为各组的组中值，$f_i$ 为各组的职工人数。
步骤 2：计算乙单位的奖金标准差
计算标准差的公式为：
\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot f_i}{\sum f_i}} \]
其中，$x_i$ 为各组的组中值，$\bar{x}$ 为平均奖金，$f_i$ 为各组的职工人数。
步骤 3：计算甲、乙单位的奖金差异程度
奖金差异程度可以通过计算标准差与平均奖金的比值来衡量，即：
\[ \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
比值越小，说明平均奖金的代表性越强。
步骤 4：比较甲、乙单位的奖金差异程度
将甲、乙单位的奖金差异程度进行比较，从而判断哪个单位的职工平均奖金更有代表性。
【答案】
首先，计算乙单位的平均奖金：
\[ \bar{x} = \frac{550 \times 1 + 650 \times 2 + 750 \times 4 + 850 \times 12 + 950 \times 6 + 1050 \times 5}{30} = \frac{24450}{30} = 815 \text{元} \]
然后，计算乙单位的奖金标准差：
\[ \sigma = \sqrt{\frac{(550-815)^2 \times 1 + (650-815)^2 \times 2 + (750-815)^2 \times 4 + (850-815)^2 \times 12 + (950-815)^2 \times 6 + (1050-815)^2 \times 5}{30}} \]
\[ \sigma = \sqrt{\frac{714025 + 272250 + 122500 + 15000 + 1701000 + 2025000}{30}} \]
\[ \sigma = \sqrt{\frac{4904750}{30}} \]
\[ \sigma = \sqrt{163491.67} \]
\[ \sigma \approx 404.34 \text{元} \]
最后，计算甲、乙单位的奖金差异程度：
甲单位的奖金差异程度为：
\[ \frac{138.14}{819.7} \approx 0.168 \]
乙单位的奖金差异程度为：
\[ \frac{404.34}{815} \approx 0.496 \]
比较甲、乙单位的奖金差异程度，甲单位的奖金差异程度更小，因此甲单位的职工平均奖金更有代表性。
解析
本题主要考察如何通过计算平均奖金和标准差系数（离散系数）来比较不同单位平均奖金的代表性。具体步骤如下：
步骤1：明确核心指标
平均奖金的代表性取决于数据的离散程度，离散系数（标准差/均值）越小，代表性越强。因此需计算甲、乙两单位的离散系数并比较。
步骤2：计算乙单位的平均奖金
乙单位数据为分组数据，需用组中值计算加权均值：
- 组中值：600以下取550，600-700取650，700-800取750，800-900取850，900-1000取950，1000-1100取1050
- 加权总和： $550×1 + 650×2 + 750×4 + 850×12 + 950×6 + 1050×5 = 24450$
- 平均奖金： $\bar{x}_乙 = \frac{24450}{30} = 815\ \text{元}$
步骤3：计算乙单位的标准差
利用分组数据标准差公式：
$\sigma_乙 = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x}_乙)^2 f_i}{\sum f_i}}$
代入数据：
$\begin{align*}&\sum (x_i - \bar{x}_乙)^2 f_i \\=&(550-815)^2×1 + (650-815)^2×2 + (750-815)^2×4 + (850-815)^2×12 + (950-815)^2×6 + (1050-815)^2×5 \\=&714025 + 272250 + 122500 + 15000 + 1701000 + 2025000 = 4904750\end{align*}$
$\sigma_乙 = \sqrt{\frac{4904750}{30}} ≈ 404.34\ \text{元}$
步骤4：比较离散系数
- 甲单位：离散系数 $V_甲 = \frac{138.14}{819.7} ≈ 0.168$
- 乙单位：离散系数 $V_乙 = \frac{404.34}{815} ≈ 0.496$
因$V_甲 < V_乙$，甲单位平均奖金更具代表性。