题目
9.设X_(1),X_(2),X_(3)都是未知参数X的无偏估计量，若要使Y=3X_(1)+aX_(2)-4X_(3)也是X的无偏估计量，则常数a=____。
9.设$X_{1},X_{2},X_{3}$都是未知参数X的无偏估计量，若要使$Y=3X_{1}+aX_{2}-4X_{3}$也是X的无偏估计量，则常数a=____。
题目解答
答案
由于 $X_1$，$X_2$，$X_3$ 均为 $X$ 的无偏估计量，即 $E(X_i) = X$（$i=1,2,3$）。计算 $Y$ 的期望值：
\[
E(Y) = E(3X_1 + aX_2 - 4X_3) = 3E(X_1) + aE(X_2) - 4E(X_3) = (3 + a - 4)X = (a - 1)X
\]
为使 $Y$ 也是 $X$ 的无偏估计量，需满足 $E(Y) = X$，即：
\[
(a - 1)X = X \implies a - 1 = 1 \implies a = 2
\]
**答案：** $\boxed{2}$
解析
考查要点：本题主要考查无偏估计量的性质及其线性组合的期望计算。
解题核心思路：
无偏估计量的定义是其期望等于被估计的参数。因此，若线性组合$Y$要成为无偏估计量，其期望必须等于参数$X$。通过计算$Y$的期望并令其等于$X$，即可解出未知常数$a$。
破题关键点：
- 无偏性条件：每个估计量的期望均为$X$。
- 线性性质：线性组合的期望等于各部分期望的线性组合。
- 系数匹配：通过整理表达式，使期望结果的系数为1，从而解出$a$。
根据无偏估计量的定义，$E(X_i) = X$（$i=1,2,3$）。计算$Y$的期望：
$\begin{aligned}E(Y) &= E(3X_1 + aX_2 - 4X_3) \\&= 3E(X_1) + aE(X_2) - 4E(X_3) \quad \text{（线性性质）} \\&= 3X + aX - 4X \quad \text{（无偏性）} \\&= (3 + a - 4)X \\&= (a - 1)X.\end{aligned}$
要使$Y$是无偏估计量，需满足$E(Y) = X$，即：
$(a - 1)X = X \implies a - 1 = 1 \implies a = 2.$