2.5楔形体在两侧面上受有均布剪力q.如下图所示,试求其应力分量。(10分)-|||-0-|||-、-|||-a/2 a/2-|||-1 __

步骤 1：确定应力函数
应力函数 $\phi$ 采用形式 $\phi = p^2(A\cos 2\varphi + B\sin 2\varphi + C\varphi + D)$，其中 $p$ 是极坐标中的径向坐标，$\varphi$ 是极坐标中的角度坐标，$A$、$B$、$C$、$D$ 是待定系数。

步骤 2：计算应力分量
由应力函数 $\phi$，可以计算出应力分量：
\[
\sigma_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial r} = -2A\cos 2\varphi - 2B\sin 2\varphi - C
\]
\[
\sigma_\varphi = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \varphi} = 2A\sin 2\varphi - 2B\cos 2\varphi
\]
\[
\tau_{r\varphi} = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial r} = 2A\sin 2\varphi - 2B\cos 2\varphi
\]

步骤 3：应用边界条件
根据对称性，边界条件为：
\[
\sigma_r = 0 \quad \text{在} \quad \varphi = \pm \alpha
\]
\[
\tau_{r\varphi} = q \quad \text{在} \quad \varphi = \pm \alpha
\]
\[
\sigma_\varphi = 0 \quad \text{在} \quad \varphi = \pm \alpha
\]
\[
\tau_{r\varphi} = 0 \quad \text{在} \quad \varphi = 0
\]

步骤 4：求解系数
联立边界条件，可以求解出系数 $A$、$B$、$C$、$D$：
\[
A = \frac{q}{2\sin \alpha}, \quad B = 0, \quad C = 0, \quad D = -\frac{q}{2}\cot \alpha
\]

步骤 5：代入系数求解应力分量
将系数代入应力分量公式，得到：
\[
\sigma_r = -q\left(\frac{\cos 2\varphi}{\sin \alpha} + \cot \alpha\right)
\]
\[
\sigma_\varphi = q\left(\frac{\cos 2\varphi}{\sin \alpha} - \cot \alpha\right)
\]
\[
\tau_{r\varphi} = q\sin 2\varphi \csc \alpha
\]