题目
水流通过如图所示的管路，已知U形测压管水银柱高差△h=0.2m，图中h1=0.72m，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，忽略管中的水头损失，试计算管中的流量Q。g20m-|||-l-|||-h1-|||-A △h B 1-|||-2+2 15-|||-d2
水流通过如图所示的管路，已知U形测压管水银柱高差△h=0.2m，图中h1=0.72m，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，忽略管中的水头损失，试计算管中的流量Q。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 1-1 断面管路中心的压强
根据题意，A-B 为等压面，列等压面方程得：
${\rho }_{Hg}g\Delta h={P}_{1}+\rho g{h}_{1}$
${P}_{1}={\rho }_{Hg}g\Delta h-\rho g{h}_{1}$
其中，${\rho }_{Hg}$ 为水银的密度，$\rho$ 为水的密度，$g$ 为重力加速度，$\Delta h$ 为水银柱高差，${h}_{1}$ 为管路中心到水面的高度。
步骤 2：计算 1-1 断面的相对压强
将已知数据代入上式，得：
${P}_{1}={\rho }_{Hg}g\Delta h-\rho g{h}_{1}$
$=13600\times 9.81\times 0.2-1000\times 9.81\times 0.72$
$=19617.6-7063.2$
$=12554.4$ (Pa)
步骤 3：列 1-1 和 2-2 断面的伯努利方程
列 1-1 和 2-2 断面的伯努利方程：
${z}_{1}+\dfrac {{p}_{1}}{\rho g}+\dfrac {{{v}_{1}}^{2}}{2g}={z}_{2}+\dfrac {{p}_{2}}{\rho g}+\dfrac {{{v}_{2}}^{2}}{2g}$
其中，${z}_{1}$ 和 ${z}_{2}$ 分别为 1-1 和 2-2 断面的高程，${p}_{1}$ 和 ${p}_{2}$ 分别为 1-1 和 2-2 断面的压强，${v}_{1}$ 和 ${v}_{2}$ 分别为 1-1 和 2-2 断面的流速。
步骤 4：计算 2-2 断面的流速
由连续性方程：${V}_{1}={V}_{2}{(\dfrac {{d}_{2}}{{d}_{1}})}^{2}$
将已知数据代入上式，得：
$20+\dfrac {12554.4}{1000\times 9.81}+\dfrac {1}{16}\dfrac {{{v}_{2}}^{2}}{2g}=15+0+\dfrac {{{v}_{2}}^{2}}{2g}$
解得：${v}_{2}=\sqrt {\dfrac {19.6\times 7\times 16}{15}}=12.1$ (m/s)
步骤 5：计算管中流量
管中流量 ${q}_{v}=\dfrac {\pi }{4}{d}_{2}^{2}{v}_{2}=\dfrac {\pi }{4}\times {0.05}^{2}\times 12.1=0.024({m}^{3}/s)$
根据题意，A-B 为等压面，列等压面方程得：
${\rho }_{Hg}g\Delta h={P}_{1}+\rho g{h}_{1}$
${P}_{1}={\rho }_{Hg}g\Delta h-\rho g{h}_{1}$
其中，${\rho }_{Hg}$ 为水银的密度，$\rho$ 为水的密度，$g$ 为重力加速度，$\Delta h$ 为水银柱高差，${h}_{1}$ 为管路中心到水面的高度。
步骤 2：计算 1-1 断面的相对压强
将已知数据代入上式，得：
${P}_{1}={\rho }_{Hg}g\Delta h-\rho g{h}_{1}$
$=13600\times 9.81\times 0.2-1000\times 9.81\times 0.72$
$=19617.6-7063.2$
$=12554.4$ (Pa)
步骤 3：列 1-1 和 2-2 断面的伯努利方程
列 1-1 和 2-2 断面的伯努利方程：
${z}_{1}+\dfrac {{p}_{1}}{\rho g}+\dfrac {{{v}_{1}}^{2}}{2g}={z}_{2}+\dfrac {{p}_{2}}{\rho g}+\dfrac {{{v}_{2}}^{2}}{2g}$
其中，${z}_{1}$ 和 ${z}_{2}$ 分别为 1-1 和 2-2 断面的高程，${p}_{1}$ 和 ${p}_{2}$ 分别为 1-1 和 2-2 断面的压强，${v}_{1}$ 和 ${v}_{2}$ 分别为 1-1 和 2-2 断面的流速。
步骤 4：计算 2-2 断面的流速
由连续性方程：${V}_{1}={V}_{2}{(\dfrac {{d}_{2}}{{d}_{1}})}^{2}$
将已知数据代入上式，得：
$20+\dfrac {12554.4}{1000\times 9.81}+\dfrac {1}{16}\dfrac {{{v}_{2}}^{2}}{2g}=15+0+\dfrac {{{v}_{2}}^{2}}{2g}$
解得：${v}_{2}=\sqrt {\dfrac {19.6\times 7\times 16}{15}}=12.1$ (m/s)
步骤 5：计算管中流量
管中流量 ${q}_{v}=\dfrac {\pi }{4}{d}_{2}^{2}{v}_{2}=\dfrac {\pi }{4}\times {0.05}^{2}\times 12.1=0.024({m}^{3}/s)$