题目
设总体 (overline(X)-1)/(overline(X)) ，样本均值 xi sim N(mu, 4) ，要使总体均值 overline(X) 的水平为 mu 的置信区间为[95%, -(0.56), overline(X), +(0.56)]，样本容量（观测次数）n必须等于(）。A. 49B. 64C. 81D. 100
设总体 $\frac{\overline{X}-1}{\overline{X}}$ ，样本均值 $\xi \sim N(\mu, 4)$ ，要使总体均值 $\overline{X}$ 的水平为 $\mu$ 的置信区间为[$95\%$, $-\text{0.56}$, $\overline{X}$, $+\text{0.56}$]，样本容量（观测次数）n必须等于(）。
A. 49
B. 64
C. 81
D. 100
题目解答
答案
A. 49
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
置信区间公式为：\[ \overline{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：确定置信水平和对应的 $z_{\alpha/2}$ 值
对于95%的置信区间，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。对应的 $z_{0.025}$ 值为1.96。
步骤 3：代入已知值并求解 $n$
已知 $\sigma^2 = 4$，所以 $\sigma = 2$。置信区间为 $\left[\overline{X} - 0.56, \overline{X} + 0.56\right]$，因此，我们可以将区间的半径设置为相等：\[ 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} = 0.56 \]
解 $n$，我们首先简化左边：\[ \frac{3.92}{\sqrt{n}} = 0.56 \]
接下来，我们通过两边乘以 $\sqrt{n}$ 来隔离 $\sqrt{n}$：\[ 3.92 = 0.56 \cdot \sqrt{n} \]
然后，我们通过两边除以0.56来解 $\sqrt{n}$：\[ \sqrt{n} = \frac{3.92}{0.56} = 7 \]
最后，我们通过两边平方来解 $n$：\[ n = 7^2 = 49 \]
置信区间公式为：\[ \overline{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：确定置信水平和对应的 $z_{\alpha/2}$ 值
对于95%的置信区间，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。对应的 $z_{0.025}$ 值为1.96。
步骤 3：代入已知值并求解 $n$
已知 $\sigma^2 = 4$，所以 $\sigma = 2$。置信区间为 $\left[\overline{X} - 0.56, \overline{X} + 0.56\right]$，因此，我们可以将区间的半径设置为相等：\[ 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} = 0.56 \]
解 $n$，我们首先简化左边：\[ \frac{3.92}{\sqrt{n}} = 0.56 \]
接下来，我们通过两边乘以 $\sqrt{n}$ 来隔离 $\sqrt{n}$：\[ 3.92 = 0.56 \cdot \sqrt{n} \]
然后，我们通过两边除以0.56来解 $\sqrt{n}$：\[ \sqrt{n} = \frac{3.92}{0.56} = 7 \]
最后，我们通过两边平方来解 $n$：\[ n = 7^2 = 49 \]