设总体 (overline(X)-1)/(overline(X)) ，样本均值 xi sim N(mu, 4) ，要使总体均值 overline(X) 的水平为 mu 的置信区间为[95%, -(0.56), overline(X), +(0.56)]，样本容量（观测次数）n必须等于(）。 A 49 B 64 C 81 D 100

为了确定样本容量 $ n $ 使得总体均值 $\mu$ 的水平为95%的置信区间为 $\left[\overline{X} - 0.56, \overline{X} + 0.56\right]$，我们需要使用正态分布的性质。已知样本均值 $\overline{X}$ 服从均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$ 的正态分布，其中 $\sigma^2 = 4$。因此，$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{4}{n}\right)$。 水平为95%的置信区间由下式给出： \[ \overline{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。对于95%的置信区间，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。对应的 $z_{0.025}$ 值为1.96。 将已知值代入置信区间公式，我们得到： \[ \overline{X} \pm 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} \] 已知置信区间为 $\left[\overline{X} - 0.56, \overline{X} + 0.56\right]$。因此，我们可以将区间的半径设置为相等： \[ 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} = 0.56 \] 解 $n$，我们首先简化左边： \[ \frac{3.92}{\sqrt{n}} = 0.56 \] 接下来，我们通过两边乘以 $\sqrt{n}$ 来隔离 $\sqrt{n}$： \[ 3.92 = 0.56 \cdot \sqrt{n} \] 然后，我们通过两边除以0.56来解 $\sqrt{n}$： \[ \sqrt{n} = \frac{3.92}{0.56} = 7 \] 最后，我们通过两边平方来解 $n$： \[ n = 7^2 = 49 \] 因此，样本容量 $n$ 必须等于 $\boxed{49}$。正确答案是 $\boxed{A}$。