题目
设随机变量X服从正态分布N（0，1），对给定的α（0＜α＜1），数u α满足P{X＞u α}=α，若P(|X|＜x)=α，则x等于（ ） A. u α 2 B. u1− α 2 C. u 1−α 2 D. u 1-α
设随机变量X服从正态分布N（0，1），对给定的α（0＜α＜1），数u
α满足P{X＞u
α}=α，若P{|X|＜x}=α，则x等于（ ）
A. u
B. u1−
C. u
D. u 1-α
A. u
| α |
| 2 |
B. u1−
| α |
| 2 |
C. u
| 1−α |
| 2 |
D. u 1-α
题目解答
答案
由标准正态分布概率密度函数的对称性知：P{X＜-u
α}=α，
于是：1-α=1-P{|X|＜x}=P{|X|≥x}=P{X≥x}+P{X≤-x}=2P{X≥x}，
即有 P{X≥x}＝
，
根据u α的定义有： x＝u
，
故选：C．
于是：1-α=1-P{|X|＜x}=P{|X|≥x}=P{X≥x}+P{X≤-x}=2P{X≥x}，
即有 P{X≥x}＝
| 1−α |
| 2 |
根据u α的定义有： x＝u
| 1−α |
| 2 |
故选：C．
解析
步骤 1：理解标准正态分布的性质
标准正态分布N（0，1）的随机变量X具有对称性，即P{X＜-u _α}=P{X＞u _α}=α。这意味着，对于任意的α，存在一个u _α，使得随机变量X大于u _α的概率为α，同时X小于-u _α的概率也为α。
步骤 2：计算P{|X|＜x}的概率
根据题意，P{|X|＜x}=α，即随机变量X的绝对值小于x的概率为α。由于X服从标准正态分布，其概率密度函数关于y轴对称，因此P{|X|＜x}可以分解为P{-x＜X＜x}，即X落在(-x, x)区间内的概率为α。
步骤 3：利用对称性求解x
由于P{|X|＜x}=α，可以将这个概率分解为P{X＜x}-P{X＜-x}。根据标准正态分布的对称性，P{X＜-x}=P{X＞x}。因此，P{|X|＜x}=P{X＜x}-P{X＞x}=2P{X＜x}-1。根据题意，P{|X|＜x}=α，所以2P{X＜x}-1=α，即P{X＜x}=(1+α)/2。根据u _α的定义，P{X＜x}=(1+α)/2对应于u _{(1+α)/2}，即x=u _{(1+α)/2}。由于(1+α)/2=1-(1-α)/2，所以x=u _{1-(1-α)/2}=u _{(1-α)/2}。
标准正态分布N（0，1）的随机变量X具有对称性，即P{X＜-u _α}=P{X＞u _α}=α。这意味着，对于任意的α，存在一个u _α，使得随机变量X大于u _α的概率为α，同时X小于-u _α的概率也为α。
步骤 2：计算P{|X|＜x}的概率
根据题意，P{|X|＜x}=α，即随机变量X的绝对值小于x的概率为α。由于X服从标准正态分布，其概率密度函数关于y轴对称，因此P{|X|＜x}可以分解为P{-x＜X＜x}，即X落在(-x, x)区间内的概率为α。
步骤 3：利用对称性求解x
由于P{|X|＜x}=α，可以将这个概率分解为P{X＜x}-P{X＜-x}。根据标准正态分布的对称性，P{X＜-x}=P{X＞x}。因此，P{|X|＜x}=P{X＜x}-P{X＞x}=2P{X＜x}-1。根据题意，P{|X|＜x}=α，所以2P{X＜x}-1=α，即P{X＜x}=(1+α)/2。根据u _α的定义，P{X＜x}=(1+α)/2对应于u _{(1+α)/2}，即x=u _{(1+α)/2}。由于(1+α)/2=1-(1-α)/2，所以x=u _{1-(1-α)/2}=u _{(1-α)/2}。