题目
(16)设X1,X2,···,xn为来自标准正态总体X的简单随机样本,记 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i),-|||-^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2, =overline (X)-s, 则 ((T)^2)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $E({T}^{2})$
$E({T}^{2})=E[ {(\overline {X}-S)}^{2}] =E({\overline {X}}^{2}-2\overline {X}S+{S}^{2})$ . $=E({\overline {X}}^{2})-2E(\overline {X}S)+E({S}^{2})$ 。
步骤 2：利用已知条件
已知 $E(\overline {X})=E(X)=0$ , $D(\overline {X})=\dfrac {D(X)}{n}=\dfrac {1}{n}$ , $E({S}^{2})=D(X)=1$ 且X与S^2相互独立,也就有X与S相互独立.
步骤 3：计算 $E({x}^{2})$ 和 $E(XS)$
$E({x}^{2})=D(\overline {X})+{[ E(\overline {X})] }^{2}=\dfrac {1}{n}+0=\dfrac {1}{n}$ - $E(XS)=E(X)E(S)=OE(S)=0$ 。
步骤 4：计算 $E({T}^{2})$
综上所述 $E({T}^{2})=\dfrac {1}{n}-0+1=1+\dfrac {1}{n}$ -
$E({T}^{2})=E[ {(\overline {X}-S)}^{2}] =E({\overline {X}}^{2}-2\overline {X}S+{S}^{2})$ . $=E({\overline {X}}^{2})-2E(\overline {X}S)+E({S}^{2})$ 。
步骤 2：利用已知条件
已知 $E(\overline {X})=E(X)=0$ , $D(\overline {X})=\dfrac {D(X)}{n}=\dfrac {1}{n}$ , $E({S}^{2})=D(X)=1$ 且X与S^2相互独立,也就有X与S相互独立.
步骤 3：计算 $E({x}^{2})$ 和 $E(XS)$
$E({x}^{2})=D(\overline {X})+{[ E(\overline {X})] }^{2}=\dfrac {1}{n}+0=\dfrac {1}{n}$ - $E(XS)=E(X)E(S)=OE(S)=0$ 。
步骤 4：计算 $E({T}^{2})$
综上所述 $E({T}^{2})=\dfrac {1}{n}-0+1=1+\dfrac {1}{n}$ -