题目

3.设 approx N(0,(4)^2), approx N(1,(3)^2), 且 (rho )_(x)=-dfrac (1)(2), 令 =dfrac (x)(2)+dfrac (y)(3), 求-|||-(1)EZ,DZ;(2)X与Z的相关系数ρg;(3)X与Z是否相互独立?

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合的期望与方差、协方差与相关系数的计算，以及正态变量的独立性判断。

解题思路：

  1. 线性组合的期望与方差：利用期望的线性性直接计算，方差需考虑协方差项。
  2. 相关系数计算：通过协方差与标准差的比值，注意协方差的分解。
  3. 独立性判断：正态变量若不相关则独立，反之亦然。

关键点：

  • 协方差公式：$\text{Cov}(aX+bY, cW+dV) = ac\text{Cov}(X,W) + ad\text{Cov}(X,V) + bc\text{Cov}(Y,W) + bd\text{Cov}(Y,V)$。
  • 相关系数公式：$\rho_{xz} = \frac{\text{Cov}(X,Z)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Z)}}$。
  • 正态变量独立的充要条件：不相关（$\rho_{xz}=0$）。

(1) 求 $EZ$ 和 $DZ$

期望 $EZ$

$EZ = E\left(\frac{X}{2} + \frac{Y}{3}\right) = \frac{E(X)}{2} + \frac{E(Y)}{3} = \frac{0}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.$

方差 $DZ$

$\begin{aligned}DZ &= D\left(\frac{X}{2} + \frac{Y}{3}\right) \\&= \left(\frac{1}{2}\right)^2 D(X) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 D(Y) + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \text{Cov}(X,Y) \\&= \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{9} \cdot 9 + \frac{1}{3} \cdot (-6) \\&= 4 + 1 - 2 = 3.\end{aligned}$

(2) 求 $X$ 与 $Z$ 的相关系数 $\rho_{xz}$

协方差 $\text{Cov}(X,Z)$

$\begin{aligned}\text{Cov}(X,Z) &= \text{Cov}\left(X, \frac{X}{2} + \frac{Y}{3}\right) \\&= \frac{1}{2} \text{Cov}(X,X) + \frac{1}{3} \text{Cov}(X,Y) \\&= \frac{1}{2} \cdot 16 + \frac{1}{3} \cdot (-6) \\&= 8 - 2 = 6.\end{aligned}$

相关系数 $\rho_{xz}$

$\rho_{xz} = \frac{\text{Cov}(X,Z)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Z)}} = \frac{6}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

(3) 判断 $X$ 与 $Z$ 是否独立

结论：由于 $\rho_{xz} \neq 0$，$X$ 与 $Z$ 不独立。