设总体X的概率密度为(x;theta )= ) 2theta (x)^2theta -1, 0lt xlt 1 0, 其他, .．

步骤 1：写出似然函数
似然函数$L(\theta)$是参数$\theta$的函数，它表示在给定样本$x_1, x_2, ..., x_n$下，参数$\theta$的似然性。对于独立同分布的样本，似然函数是每个样本点的概率密度函数的乘积。因此，对于给定的概率密度函数$f(x;\theta)$，似然函数为：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} 2\theta x_i^{2\theta-1} = 2^n \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{2\theta-1}$

步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数$\ln L(\theta)$：
$\ln L(\theta) = \ln(2^n \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{2\theta-1}) = n\ln 2 + n\ln \theta + (2\theta-1)\sum_{i=1}^{n} \ln x_i$

步骤 3：求对数似然函数的导数
为了找到极大似然估计，我们需要对对数似然函数关于$\theta$求导，并令导数等于0，解出$\theta$：
$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta} = \frac{n}{\theta} + 2\sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$

步骤 4：解方程求$\theta$
解上述方程，得到$\theta$的极大似然估计：
$\frac{n}{\theta} = -2\sum_{i=1}^{n} \ln x_i$
$\theta = -\frac{n}{2\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}$