两个相互独立的随机 变量 X 和 Y 分 别服从正态分布N(0,1) 和N(0,1) 则N(0,1) 服从的分布是（）A.N(0,1)B.N(0,1)C.N(0,1)D.N(0,1)

考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质，特别是独立正态变量的线性组合的均值和方差的计算。

解题核心思路：

1. 正态分布的封闭性：若随机变量$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$和$Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$独立，则线性组合$aX + bY + c$仍服从正态分布。
2. 均值计算：$E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$。
3. 方差计算：若$X$和$Y$独立，则$D(aX + bY + c) = a^2D(X) + b^2D(Y)$。

破题关键点：

• 正确代入系数：注意系数$a=2$和$b=-3$对均值和方差的影响。
• 独立性简化方差：独立变量的协方差为0，方差可直接相加。

步骤1：计算均值$E(Z)$

根据线性组合的期望公式：
$E(Z) = E(2X - 3Y + 4) = 2E(X) - 3E(Y) + 4$
已知$X \sim N(0,1)$，故$E(X)=0$；$Y \sim N(1,1)$，故$E(Y)=1$。代入得：
$E(Z) = 2 \times 0 - 3 \times 1 + 4 = -3 + 4 = 1$

步骤2：计算方差$D(Z)$

根据独立变量的方差公式：
$D(Z) = D(2X - 3Y + 4) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y)$
已知$D(X)=1$，$D(Y)=1$，代入得：
$D(Z) = 4 \times 1 + 9 \times 1 = 13$

步骤3：确定分布形式

由于$Z$是正态变量的线性组合，故$Z \sim N(E(Z), D(Z)) = N(1, 13)$。