题目

某批矿砂的5个样品中的镍含量( % )，经测定得overline (x)=3.252，overline (x)=3.252，设测定值总体overline (x)=3.252服从overline (x)=3.252，但overline (x)=3.252未知，问在显著性水平overline (x)=3.252下，能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25？ (overline (x)=3.252，overline (x)=3.252, overline (x)=3.252)

某批矿砂的5个样品中的镍含量( % )，经测定得 $\overline{x}=3.252$ ， $s=0.013$ ，设测定值总体 $X$ 服从 $N(\mu,\sigma^2)$ ，但 $\sigma^2$ 未知，问在显著性水平 $\alpha=0.01$ 下，能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25？ ( $t_{0.005}(5)=4.0322$ ， $t_{0.005}(4)=4.6041$ , $\sqrt{5}=2.236$ )

题目解答

答案

设原假设 $H_0:\mu=\mu_0=3.25$

单个正态总体下的关于均值的检验，当方差 $\sigma^2$ 未知时，应用样本标准差 $S$ 代替 $\sigma$ .

当 $H_0$ 成立时，选取统计量： $T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}\sim t\left(n-1\right)$ .

对于给定的显著水平 $\alpha$ ，

$P\left\{\left|T\right|\ge t_{\alpha/2}\left(n-1\right)\right\}=\alpha$

∴拒绝域是 $W=\left\{\left|t\right|\ge t_{\alpha/2}\left(n-1\right)\right\}$ ，其中 $t_{\alpha/2}\left(n-1\right)$ 是自由度为 $n-1$ 的t分布的 $\frac{\alpha}{2}$ 上侧分位数.

代入数据可得： $t_{\alpha/2}\left(n-1\right)=t_{0.005}(4)=4.6041$

∴拒绝域是 $W=\left\{\left|t\right|\ge4.6041\right\}$ ；

统计量的观测值：

$t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{S}\sqrt{n}=\frac{3.252-3.25}{0.013}\times\sqrt{5}$

$=\frac{0.002}{0.013}\times2.236=0.344$ ；

∴ $\left|t\right|=0.344<4.6041$ ，落在拒绝域以外，即接受域以内

∴接受原假设 $H_0:\mu=\mu_0=3.25$

即在显著性水平 $\alpha=0.01$ 下，接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25.

解析

步骤 1：确定假设
设原假设${H}_{0}:\mu =\mu 0=3.25$，即这批矿砂的镍含量的均值为3.25%。
步骤 2：选择检验统计量
由于总体方差未知，且样本量较小，我们使用t检验。检验统计量为$T=\dfrac {\overline {X}-\mu 0}{S}\sqrt {n}\sim t(n-1)$，其中$\overline {X}$是样本均值，$S$是样本标准差，$n$是样本量。
步骤 3：计算检验统计量的值
代入数据，我们得到$T=\dfrac {3.252-3.25}{0.013}\times \sqrt {5}=\dfrac {0.002}{0.013}\times 2.236=0.344$。
步骤 4：确定拒绝域
对于给定的显著性水平$\alpha =0.01$，自由度为$n-1=4$，查t分布表得到${t}_{\alpha /2}(n-1)={t}_{0.005}(4)=4.6041$。因此，拒绝域是$N=\{ |t|\geqslant 4.6041\}$。
步骤 5：做出决策
由于$|t|=0.344\lt 4.6041$，落在拒绝域以外，即接受域以内，因此我们接受原假设${H}_{0}:\mu =\mu 0=3.25$。