题目
由正态总体N(mu,sigma^2)抽取容量为20的样本，试求P(10sigma^2leqsum_(i=1)^20(x_(i)-mu)^2leq30sigma^2)
由正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$抽取容量为20的样本，试求$P(10\sigma^{2}\leq\sum_{i=1}^{20}(x_{i}-\mu)^{2}\leq30\sigma^{2})$
题目解答
答案
由题意，$x_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$\frac{x_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
构造统计量：
\[
\sum_{i=1}^{20} \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(20)
\]
原不等式除以$\sigma^2$得：
\[
10 \leq \sum_{i=1}^{20} \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \leq 30
\]
即求$P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30)$。
利用卡方分布的分布函数：
\[
P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30) = F_{\chi^2(20)}(30) - F_{\chi^2(20)}(10)
\]
查表或使用统计软件（如MATLAB的`chi2cdf`函数）得：
\[
F_{\chi^2(20)}(30) \approx 0.9301, \quad F_{\chi^2(20)}(10) \approx 0.0318
\]
\[
P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30) \approx 0.8983
\]
**答案：** $\boxed{0.8983}$
解析
步骤 1：标准化样本
由题意，$x_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$\frac{x_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
步骤 2：构造统计量
构造统计量： \[ \sum_{i=1}^{20} \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(20) \]
步骤 3：转换不等式
原不等式除以$\sigma^2$得： \[ 10 \leq \sum_{i=1}^{20} \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \leq 30 \]
步骤 4：计算概率
即求$P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30)$。 利用卡方分布的分布函数： \[ P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30) = F_{\chi^2(20)}(30) - F_{\chi^2(20)}(10) \] 查表或使用统计软件（如MATLAB的`chi2cdf`函数）得： \[ F_{\chi^2(20)}(30) \approx 0.9301, \quad F_{\chi^2(20)}(10) \approx 0.0318 \]
步骤 5：计算最终概率
\[ P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30) \approx 0.8983 \]
由题意，$x_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$\frac{x_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
步骤 2：构造统计量
构造统计量： \[ \sum_{i=1}^{20} \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(20) \]
步骤 3：转换不等式
原不等式除以$\sigma^2$得： \[ 10 \leq \sum_{i=1}^{20} \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \leq 30 \]
步骤 4：计算概率
即求$P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30)$。 利用卡方分布的分布函数： \[ P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30) = F_{\chi^2(20)}(30) - F_{\chi^2(20)}(10) \] 查表或使用统计软件（如MATLAB的`chi2cdf`函数）得： \[ F_{\chi^2(20)}(30) \approx 0.9301, \quad F_{\chi^2(20)}(10) \approx 0.0318 \]
步骤 5：计算最终概率
\[ P(10 \leq \chi^2(20) \leq 30) \approx 0.8983 \]