1 、 用 杠 杆 千 分 尺 测 量 某 轴 直 径 共 15 次 ， 各 次 测 量 值 为（mm）10.492,10.435,10.432，10.429，10.427，10.428，10.430，10.434，10.428，10.431，10.430，10.429，10.432，10.429，10.429。若测量中没有系统误差，试求：(1)算术平均值 x 。(2)单次测量的标准偏差 σ 。(3)试用3 σ 法则判断该测量列中有无粗大误差?(4)单次测量的极限误差 Δlim ，如用此杠杆千分尺对该轴直径仅测量1次，得测量值为10.431，则其测量结果和测量精度应怎样表示?(5)算术平均值的标准偏差 σ x 。(6)算术平均值的极限误差是多少?以这15次测量的算术平均值作为测量结果时，怎样表示测量结果和测量精度?

步骤 1：计算算术平均值
根据算术平均值的定义，算术平均值是所有测量值的总和除以测量次数。计算公式为：
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，\( n \) 是测量次数，\( x_i \) 是第 \( i \) 次测量值。

步骤 2：计算单次测量的标准偏差
单次测量的标准偏差是衡量测量值分散程度的指标，计算公式为：
\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]

步骤 3：判断测量列中是否有粗大误差
根据3σ法则，如果某个测量值与算术平均值的差的绝对值大于3σ，则认为该测量值存在粗大误差。

步骤 4：计算单次测量的极限误差
单次测量的极限误差通常取为3σ，即：
\[ \Delta_{\text{lim}} = 3\sigma \]

步骤 5：计算算术平均值的标准偏差
算术平均值的标准偏差是单次测量标准偏差除以测量次数的平方根，计算公式为：
\[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

步骤 6：计算算术平均值的极限误差
算术平均值的极限误差通常取为3σ_{\bar{x}}，即：
\[ \Delta_{\text{lim, avg}} = 3\sigma_{\bar{x}} \]