1 、 用 杠 杆 千 分 尺 测 量 某 轴 直 径 共 15 次 ， 各 次 测 量 值 为（mm）10.492,10.435,10.432，10.429，10.427，10.428，10.430，10.434，10.428，10.431，10.430，10.429，10.432，10.429，10.429。若测量中没有系统误差，试求：(1)算术平均值 x 。(2)单次测量的标准偏差 σ 。(3)试用3 σ 法则判断该测量列中有无粗大误差?(4)单次测量的极限误差 Δlim ，如用此杠杆千分尺对该轴直径仅测量1次，得测量值为10.431，则其测量结果和测量精度应怎样表示?(5)算术平均值的标准偏差 σ x 。(6)算术平均值的极限误差是多少?以这15次测量的算术平均值作为测量结果时，怎样表示测量结果和测量精度?

本题考查测量数据的统计处理，涉及算术平均值、标准偏差、粗大误差判断及极限误差的计算。核心思路是：

1. 算术平均值反映测量值的集中趋势；
2. 标准偏差衡量单次测量的分散程度；
3. 3σ法则用于识别异常值；
4. 极限误差通过标准偏差的倍数表示测量精度；
5. 算术平均值的误差随测量次数增加而减小。

(1) 算术平均值 $\bar{x}$

公式：$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
计算：将15次测量值相加后除以15，结果为 $\bar{x} = 10.434$ mm。

(2) 单次测量的标准偏差 $\sigma$

公式：$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$
步骤：

1. 计算每个测量值与平均值的差 $(x_i - \bar{x})$；
2. 平方后求和 $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 0.003635$；
3. 代入公式得 $\sigma \approx 0.0156$ mm。

(3) 3σ法则判断粗大误差

判断标准：若测量值超出 $\bar{x} \pm 3\sigma$，则为粗大误差。
计算：

• $3\sigma = 3 \times 0.0156 = 0.0468$ mm；
• 范围：$10.434 \pm 0.0468$，即 $[10.3872, 10.4808]$ mm；
• 最大值10.492 mm超出范围，存在粗大误差。

(4) 单次测量的极限误差 $\Delta_{\text{lim}}$

公式：$\Delta_{\text{lim}} = 3\sigma = 0.0468$ mm（保留两位有效数字为0.047 mm）。
测量结果表示：若单次测得10.431 mm，则表示为 $10.431 \pm 0.047$ mm。

(5) 算术平均值的标准偏差 $\sigma_{\bar{x}}$

公式：$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.0156}{\sqrt{15}} \approx 0.00403$ mm。

(6) 算术平均值的极限误差

公式：$3\sigma_{\bar{x}} = 3 \times 0.00403 = 0.0121$ mm（保留两位有效数字为0.012 mm）。
测量结果表示：以算术平均值为结果，表示为 $10.434 \pm 0.012$ mm。