题目
设总体的分布律为，，作检验现抽取容量为3的样本 ，若拒绝域为则犯第一类错误及第二类错误的概率是多少？
设总体
的分布律为
，
，
作检验
现抽取容量为3的样本 
，若拒绝域
为则犯第一类错误及第二类错误的概率是多少？
题目解答
答案
答案分别为0.014，0.968。由犯第一类错误计算公式则有第一类错误：
由犯第二类错误计算公式则有第二类错误
。
解析
步骤 1：计算第一类错误的概率
第一类错误是指在原假设${H}_{0}$为真时，拒绝${H}_{0}$的概率。根据题目，当$\theta =0.1$时，拒绝域为${X}_{1}=1,{X}_{2}=2,{X}_{3}=3$。因此，第一类错误的概率为：
$P\{ {X}_{1}=1,{X}_{2}=2,{X}_{3}=3|\theta =0.1\} =P\{ {X}_{1}=1|\theta =0.1\} \times P\{ {X}_{2}=2|\theta =0.1\} \times P\{ {X}_{3}=3|\theta =0.1\}$
$=0.1\times 0.2\times 0.7=0.014$
步骤 2：计算第二类错误的概率
第二类错误是指在原假设${H}_{0}$为假时，接受${H}_{0}$的概率。根据题目，当$\theta =0.2$时，拒绝域为${X}_{1}=1,{X}_{2}=2,{X}_{3}=3$。因此，第二类错误的概率为：
$P\{ {X}_{1}\neq 1\cup {X}_{2}\neq 2\cup {X}_{3}\neq 3|\theta =0.2\}$
$=P\{ {X}_{1}\neq 1|\theta =0.2\} +P\{ {X}_{2}\neq 2|\theta =0.2\} +P\{ {X}_{3}\neq 3|\theta =0.2\}$
$-P\{ {X}_{1}\neq 1|\theta =0.2\} P\{ {X}_{2}\neq 2|\theta =0.2\}$
$-P\{ {X}_{1}\neq 1|\theta =0.2\} P\{ {X}_{3}\neq 3|\theta =0.2\}$
$-P\{ {X}_{2}\neq 2|\theta =0.2\} P\{ {X}_{3}\neq 3|\theta =0.2\}$
$+P\{ {X}_{1}\neq 1|\theta =0.2\} P\{ {X}_{2}\neq 2|\theta =0.2\} P\{ {X}_{3}\neq 3|\theta =0.2\}$
$=0.8+0.6+0.6-0.48-0.48-0.36+0.288$
$=0.968$
第一类错误是指在原假设${H}_{0}$为真时，拒绝${H}_{0}$的概率。根据题目，当$\theta =0.1$时，拒绝域为${X}_{1}=1,{X}_{2}=2,{X}_{3}=3$。因此，第一类错误的概率为：
$P\{ {X}_{1}=1,{X}_{2}=2,{X}_{3}=3|\theta =0.1\} =P\{ {X}_{1}=1|\theta =0.1\} \times P\{ {X}_{2}=2|\theta =0.1\} \times P\{ {X}_{3}=3|\theta =0.1\}$
$=0.1\times 0.2\times 0.7=0.014$
步骤 2：计算第二类错误的概率
第二类错误是指在原假设${H}_{0}$为假时，接受${H}_{0}$的概率。根据题目，当$\theta =0.2$时，拒绝域为${X}_{1}=1,{X}_{2}=2,{X}_{3}=3$。因此，第二类错误的概率为：
$P\{ {X}_{1}\neq 1\cup {X}_{2}\neq 2\cup {X}_{3}\neq 3|\theta =0.2\}$
$=P\{ {X}_{1}\neq 1|\theta =0.2\} +P\{ {X}_{2}\neq 2|\theta =0.2\} +P\{ {X}_{3}\neq 3|\theta =0.2\}$
$-P\{ {X}_{1}\neq 1|\theta =0.2\} P\{ {X}_{2}\neq 2|\theta =0.2\}$
$-P\{ {X}_{1}\neq 1|\theta =0.2\} P\{ {X}_{3}\neq 3|\theta =0.2\}$
$-P\{ {X}_{2}\neq 2|\theta =0.2\} P\{ {X}_{3}\neq 3|\theta =0.2\}$
$+P\{ {X}_{1}\neq 1|\theta =0.2\} P\{ {X}_{2}\neq 2|\theta =0.2\} P\{ {X}_{3}\neq 3|\theta =0.2\}$
$=0.8+0.6+0.6-0.48-0.48-0.36+0.288$
$=0.968$