题目
8.10 装配一个部件可以采用不同的方法，所关心的问题是哪种方法的效率更高。劳动效率可以用平均装配时间来反映。现从不同的装配方法中各抽取12件产品，记录各自的装配时间（单位：分钟）如下：甲方法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26乙方法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28两总体为正态总体，且方差相同，问这两种方法的装配时间有无显著差别（α=0.05）？
8.10 装配一个部件可以采用不同的方法，所关心的问题是哪种方法的效率更高。劳动效率可以用平均装配时间来反映。现从不同的装配方法中各抽取12件产品，记录各自的装配时间（单位：分钟）如下：
甲方法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26
乙方法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28
两总体为正态总体，且方差相同，问这两种方法的装配时间有无显著差别（α=0.05）？
题目解答
答案
**解：**
1. **计算样本均值和方差：**
- **甲方法：**
$\overline{x}_A = 31.75$，$s_A^2 \approx 10.205$
- **乙方法：**
$\overline{x}_B \approx 28.67$，$s_B^2 \approx 6.061$
2. **合并方差：**
$s_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A + n_B - 2} \approx 8.133$
3. **t统计量：**
$t = \frac{(\overline{x}_A - \overline{x}_B)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}}} \approx 2.646$
4. **临界值：**
$t_{0.025, 22} \approx 2.074$
5. **结论：**
$|t| = 2.646 > 2.074$，拒绝原假设。
**答案：**
\[
\boxed{\text{认为两种方法的装配时间有显著差异。}}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值和方差
- **甲方法：**
- 样本均值 $\overline{x}_A = \frac{1}{12} \sum_{i=1}^{12} x_{A,i} = \frac{1}{12} (31 + 34 + 29 + 32 + 35 + 38 + 34 + 30 + 29 + 32 + 31 + 26) = 31.75$
- 样本方差 $s_A^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=1}^{12} (x_{A,i} - \overline{x}_A)^2 \approx 10.205$
- **乙方法：**
- 样本均值 $\overline{x}_B = \frac{1}{12} \sum_{i=1}^{12} x_{B,i} = \frac{1}{12} (26 + 24 + 28 + 29 + 30 + 29 + 32 + 26 + 31 + 29 + 32 + 28) \approx 28.67$
- 样本方差 $s_B^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=1}^{12} (x_{B,i} - \overline{x}_B)^2 \approx 6.061$
步骤 2：合并方差
- 合并方差 $s_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{11 \times 10.205 + 11 \times 6.061}{22} \approx 8.133$
步骤 3：计算t统计量
- t统计量 $t = \frac{(\overline{x}_A - \overline{x}_B)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}}} = \frac{(31.75 - 28.67)}{\sqrt{8.133} \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{1}{12}}} \approx 2.646$
步骤 4：确定临界值
- 自由度 $df = n_A + n_B - 2 = 22$
- 临界值 $t_{0.025, 22} \approx 2.074$
步骤 5：做出结论
- 比较t统计量和临界值：$|t| = 2.646 > 2.074$
- 因此，拒绝原假设，认为两种方法的装配时间有显著差异。
- **甲方法：**
- 样本均值 $\overline{x}_A = \frac{1}{12} \sum_{i=1}^{12} x_{A,i} = \frac{1}{12} (31 + 34 + 29 + 32 + 35 + 38 + 34 + 30 + 29 + 32 + 31 + 26) = 31.75$
- 样本方差 $s_A^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=1}^{12} (x_{A,i} - \overline{x}_A)^2 \approx 10.205$
- **乙方法：**
- 样本均值 $\overline{x}_B = \frac{1}{12} \sum_{i=1}^{12} x_{B,i} = \frac{1}{12} (26 + 24 + 28 + 29 + 30 + 29 + 32 + 26 + 31 + 29 + 32 + 28) \approx 28.67$
- 样本方差 $s_B^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=1}^{12} (x_{B,i} - \overline{x}_B)^2 \approx 6.061$
步骤 2：合并方差
- 合并方差 $s_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{11 \times 10.205 + 11 \times 6.061}{22} \approx 8.133$
步骤 3：计算t统计量
- t统计量 $t = \frac{(\overline{x}_A - \overline{x}_B)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}}} = \frac{(31.75 - 28.67)}{\sqrt{8.133} \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{1}{12}}} \approx 2.646$
步骤 4：确定临界值
- 自由度 $df = n_A + n_B - 2 = 22$
- 临界值 $t_{0.025, 22} \approx 2.074$
步骤 5：做出结论
- 比较t统计量和临界值：$|t| = 2.646 > 2.074$
- 因此，拒绝原假设，认为两种方法的装配时间有显著差异。