设随机变量，XY相互独立，X~N（0，1）），Y~N（1，1），则（）A. P（X+Y≤0）=1/2B. P（X+Y≤1）=1/2C. P（X-Y≤0）=1/2D. P（X-Y≤1）=1/2

考查要点：本题主要考查独立正态随机变量的线性组合的分布性质，以及如何利用标准正态分布计算概率。

解题核心思路：

1. 确定线性组合的分布：根据独立正态变量的性质，若$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$，$Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$，则$aX + bY \sim N(a\mu_X + b\mu_Y, a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2)$。
2. 标准化求概率：将线性组合的表达式标准化为标准正态变量$Z$，利用$\Phi(z)$（标准正态分布函数）判断概率是否为$\frac{1}{2}$。
3. 关键判断点：若临界值等于线性组合的均值，则对应概率为$\frac{1}{2}$。

破题关键：

• 选项B中，$X+Y$的均值为$1$，临界值为$1$，因此概率为$\frac{1}{2}$。
• 其他选项的临界值均不等于对应线性组合的均值，故概率不等于$\frac{1}{2}$。

选项分析

选项A：$P(X+Y \leq 0) = \frac{1}{2}$

1. 确定分布：
   $X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(1,1)$，且独立，故$X+Y \sim N(0+1, 1^2+1^2) = N(1, 2)$。
2. 标准化计算：
   $P(X+Y \leq 0) = P\left(\frac{X+Y - 1}{\sqrt{2}} \leq \frac{0 - 1}{\sqrt{2}}\right) = \Phi\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 0.1587 \neq \frac{1}{2}$。
   结论：错误。

选项B：$P(X+Y \leq 1) = \frac{1}{2}$

1. 确定分布：
   $X+Y \sim N(1, 2)$。
2. 标准化计算：
   $P(X+Y \leq 1) = P\left(\frac{X+Y - 1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1 - 1}{\sqrt{2}}\right) = \Phi(0) = \frac{1}{2}$。
   结论：正确。

选项C：$P(X-Y \leq 0) = \frac{1}{2}$

1. 确定分布：
   $X-Y \sim N(0-1, 1^2+1^2) = N(-1, 2)$。
2. 标准化计算：
   $P(X-Y \leq 0) = P\left(\frac{X-Y +1}{\sqrt{2}} \leq \frac{0 +1}{\sqrt{2}}\right) = \Phi\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 0.6915 \neq \frac{1}{2}$。
   结论：错误。

选项D：$P(X-Y \leq 1) = \frac{1}{2}$

1. 确定分布：
   $X-Y \sim N(-1, 2)$。
2. 标准化计算：
   $P(X-Y \leq 1) = P\left(\frac{X-Y +1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1 +1}{\sqrt{2}}\right) = \Phi\left(\sqrt{2}\right) \approx 0.921 \neq \frac{1}{2}$。
   结论：错误。