题目
9.设X1,X2,X3,X 4为来自正态总体 approx N(12,4) 的简单随机样本,则概率-|||- 12lt overline {X)lt 13} = ()-|||-(A)0.159 (B) 0.341 (C) 0.5 (D)0.841
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态总体 $X \sim N(12, 4)$ 的简单随机样本，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布。样本均值的均值为总体均值，即 $E(\overline{X}) = 12$，样本均值的方差为总体方差除以样本容量，即 $Var(\overline{X}) = \frac{4}{4} = 1$。因此，$\overline{X} \sim N(12, 1)$。
步骤 2：计算概率 $P(12 < \overline{X} < 13)$
我们需要计算 $\overline{X}$ 在区间 $(12, 13)$ 内的概率。首先，将 $\overline{X}$ 标准化，即 $Z = \frac{\overline{X} - 12}{1}$。因此，$Z \sim N(0, 1)$。我们需要计算 $P(0 < Z < 1)$。
步骤 3：查标准正态分布表
查标准正态分布表，可以得到 $P(Z < 1) = 0.8413$ 和 $P(Z < 0) = 0.5$。因此，$P(0 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < 0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413$。
由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态总体 $X \sim N(12, 4)$ 的简单随机样本，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布。样本均值的均值为总体均值，即 $E(\overline{X}) = 12$，样本均值的方差为总体方差除以样本容量，即 $Var(\overline{X}) = \frac{4}{4} = 1$。因此，$\overline{X} \sim N(12, 1)$。
步骤 2：计算概率 $P(12 < \overline{X} < 13)$
我们需要计算 $\overline{X}$ 在区间 $(12, 13)$ 内的概率。首先，将 $\overline{X}$ 标准化，即 $Z = \frac{\overline{X} - 12}{1}$。因此，$Z \sim N(0, 1)$。我们需要计算 $P(0 < Z < 1)$。
步骤 3：查标准正态分布表
查标准正态分布表，可以得到 $P(Z < 1) = 0.8413$ 和 $P(Z < 0) = 0.5$。因此，$P(0 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < 0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413$。