题目
设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P(X＞uα)=α，若P(|X|＜x)=α，则x等于()A. uα2B. u1−α2C. u1−α2D. u1-α
设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}=α，若P{|X|＜x}=α，则x等于()
A. u
B. u
C. u1−
D. u1-α
A. u
| α |
| 2 |
B. u
| 1−α |
| 2 |
C. u1−
| α |
| 2 |
D. u1-α
题目解答
答案
如右图所示：由标准正态分布函数的对称性可知，P{X＞uα}=P{X＜-uα}=α，
于是，由P{|X|＜x}=α，得：
1-α=1-P{|X|＜x}=P{|X|≥x}=P(X≥x)+P(X≤-x)=2P(X≥x)
∴P(X≥x)=
| 1−α |
| 2 |
因此，由数uα满足P{X＞uα}=α的定义，知：
x＝u
| 1−α |
| 2 |
故选：B
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
正态分布N(0,1)的随机变量X具有对称性，即P{X＞u_α}=P{X＜-u_α}。因此，对于给定的α∈(0,1)，数u_α满足P{X＞u_α}=α，同时P{X＜-u_α}=α。
步骤 2：分析P{|X|＜x}=α
P{|X|＜x}=α表示随机变量X的绝对值小于x的概率为α。由于正态分布的对称性，可以将这个概率分解为两部分：P{X＜x}和P{X＞-x}。因此，P{|X|＜x}=P{X＜x}+P{X＞-x}-1=α。
步骤 3：确定x的值
由于P{X＞u_α}=α，P{X＜-u_α}=α，所以P{X＜x}+P{X＞-x}-1=α可以转化为P{X＜x}+P{X＞-x}=1+α。根据正态分布的对称性，P{X＜x}=P{X＞-x}，所以P{X＜x}=P{X＞-x}=(1+α)/2。因此，x应该满足P{X＞x}=(1-α)/2，即x=u_{1-α/2}。
正态分布N(0,1)的随机变量X具有对称性，即P{X＞u_α}=P{X＜-u_α}。因此，对于给定的α∈(0,1)，数u_α满足P{X＞u_α}=α，同时P{X＜-u_α}=α。
步骤 2：分析P{|X|＜x}=α
P{|X|＜x}=α表示随机变量X的绝对值小于x的概率为α。由于正态分布的对称性，可以将这个概率分解为两部分：P{X＜x}和P{X＞-x}。因此，P{|X|＜x}=P{X＜x}+P{X＞-x}-1=α。
步骤 3：确定x的值
由于P{X＞u_α}=α，P{X＜-u_α}=α，所以P{X＜x}+P{X＞-x}-1=α可以转化为P{X＜x}+P{X＞-x}=1+α。根据正态分布的对称性，P{X＜x}=P{X＞-x}，所以P{X＜x}=P{X＞-x}=(1+α)/2。因此，x应该满足P{X＞x}=(1-α)/2，即x=u_{1-α/2}。