68.设总体X服从指数分布,其概率密度为 (x,lambda )= ) lambda (e)^-xxgeqslant 0 0 xlt 0 . 其中 lambda gt 0 为未知-|||-参数,x1,x2,···,xn为样本,求λ的极大似然估计。

步骤 1：写出似然函数
似然函数是样本观测值的概率密度函数的乘积，对于独立同分布的样本，似然函数为：
$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i, \lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i}$$
步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$\ln L(\lambda) = \ln \left( \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} \right) = \sum_{i=1}^{n} \ln (\lambda e^{-\lambda x_i}) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i$$
步骤 3：求对数似然函数的导数
为了找到极大似然估计，我们需要对对数似然函数关于参数 $\lambda$ 求导，并令导数等于零：
$$\frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{d}{d\lambda} (n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i$$
步骤 4：求解极大似然估计
令导数等于零，解出 $\lambda$：
$$\frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0$$
$$\frac{n}{\lambda} = \sum_{i=1}^{n} x_i$$
$$\lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i} = \frac{1}{\bar{x}}$$
其中 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ 是样本均值。