题目
7.设总体x的概率密度为 (x;(lambda )_(1)theta )= ) (x)^-2(x-a)cdot xgeqslant 0 0 xlt 0 . 其中参数 theta in R lambda gt 0.-|||-x1,x2,···,xn为来自X的一个样本,x1,x1,y",x为相应的样本值.-|||-(1)当 lambda =1 时,求未知参数θ的矩估计量;-|||-(2)当 theta =1 时,求未知参数λ的极大似然估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求未知参数θ的矩估计量
当 $\lambda = 1$ 时，概率密度函数为 $f(x;\theta) = e^{-(x-\theta)}$，其中 $x \geq \theta$。为了求出未知参数 $\theta$ 的矩估计量，我们需要计算总体的期望值 $E(X)$。
步骤 2：计算总体的期望值
$E(X) = \int_{\theta}^{+\infty} x e^{-(x-\theta)} dx$。通过分部积分法，可以得到 $E(X) = \theta + 1$。
步骤 3：求矩估计量
由于样本均值 $\overline{X}$ 是总体均值 $E(X)$ 的无偏估计量，因此 $\theta$ 的矩估计量为 $\hat{\theta} = \overline{X} - 1$。
步骤 4：求未知参数λ的极大似然估计量
当 $\theta = 1$ 时，概率密度函数为 $f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda (x-1)}$，其中 $x \geq 1$。为了求出未知参数 $\lambda$ 的极大似然估计量，我们需要构造似然函数并求其极大值。
步骤 5：构造似然函数
似然函数为 $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda (x_i-1)} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} (x_i-1)}$。
步骤 6：求对数似然函数
对数似然函数为 $\ln L(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} (x_i-1)$。
步骤 7：求极大似然估计量
对 $\ln L(\lambda)$ 求导并令其等于0，得到 $\frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} (x_i-1) = 0$。解得 $\lambda$ 的极大似然估计量为 $\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} (x_i-1)}$。
当 $\lambda = 1$ 时，概率密度函数为 $f(x;\theta) = e^{-(x-\theta)}$，其中 $x \geq \theta$。为了求出未知参数 $\theta$ 的矩估计量，我们需要计算总体的期望值 $E(X)$。
步骤 2：计算总体的期望值
$E(X) = \int_{\theta}^{+\infty} x e^{-(x-\theta)} dx$。通过分部积分法，可以得到 $E(X) = \theta + 1$。
步骤 3：求矩估计量
由于样本均值 $\overline{X}$ 是总体均值 $E(X)$ 的无偏估计量，因此 $\theta$ 的矩估计量为 $\hat{\theta} = \overline{X} - 1$。
步骤 4：求未知参数λ的极大似然估计量
当 $\theta = 1$ 时，概率密度函数为 $f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda (x-1)}$，其中 $x \geq 1$。为了求出未知参数 $\lambda$ 的极大似然估计量，我们需要构造似然函数并求其极大值。
步骤 5：构造似然函数
似然函数为 $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda (x_i-1)} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} (x_i-1)}$。
步骤 6：求对数似然函数
对数似然函数为 $\ln L(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} (x_i-1)$。
步骤 7：求极大似然估计量
对 $\ln L(\lambda)$ 求导并令其等于0，得到 $\frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} (x_i-1) = 0$。解得 $\lambda$ 的极大似然估计量为 $\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} (x_i-1)}$。