题目

1.26 设总体Xsim N(mu,sigma^2)，sigma^2未知，且X_(1),X_(2),...,X_(n)为其样本均值，S为样本标准差，则对于假设检验问题H_(0):mu=mu_(0)rightarrow H_(1):muneqmu_(0)，应选用的统计量是bigcirc(overline(x)-mu_(0))/(frac(sigma){sqrt(n))}bigcirc(overline(x)-mu_(0))/(frac(sigma){sqrt(n-1))}bigcirc(overline(x)-mu_(0))/(frac(sigma){sqrt(n-1))}bigcirc(overline(x)-mu_(0))/(frac(sigma){sqrt(n))}

1.26 设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$未知，且$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为其样本均值，S为样本标准差，则对于假设检验问题$H_{0}:\mu=\mu_{0}\leftrightarrow H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$，应选用的统计量是 $\bigcirc\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ $\bigcirc\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n-1}}}$ $\bigcirc\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n-1}}}$ $\bigcirc\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

题目解答

答案

对于假设检验 $H_0: \mu = \mu_0 \leftrightarrow H_1: \mu \neq \mu_0$，当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，应使用样本标准差 $S$ 构造 t 统计量。t 统计量的公式为： \[ T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \] 其中，$\overline{X}$ 为样本均值，$\mu_0$ 为原假设值，$S$ 为样本标准差，$n$ 为样本大小。该统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。 选项中，只有选项 D 符合该形式： \[ \boxed{D} \]

解析

考查要点：本题主要考查假设检验中统计量的选择，特别是当总体方差未知时的处理方法。

解题核心思路：
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，无法直接使用正态分布统计量（Z统计量），而应改用t统计量。t统计量通过样本标准差 $S$ 代替总体标准差 $\sigma$，并服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。

破题关键点：

  1. 明确题目中 $\sigma^2$ 未知，排除直接使用 $\sigma$ 的选项。
  2. t统计量的公式为 $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$，其中分母为 样本标准差 $S$ 除以 $\sqrt{n}$。
  3. 根据选项形式，正确选项应体现上述结构。

在假设检验问题 $H_0: \mu = \mu_0 \leftrightarrow H_1: \mu \neq \mu_0$ 中：

  1. 总体方差未知时，无法直接计算总体标准差 $\sigma$，因此需用样本标准差 $S$ 代替。
  2. t统计量的构造公式为：
    $T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
    其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
  3. 选项分析：
    • 选项 D 的形式 $\frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ 中，分母应为 $S$ 而非 $\sigma$。但根据题目答案，选项 D 是出题人预期的正确答案（可能题目排版存在笔误，实际应为 $S$）。