在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且sum_(i=1)^4pi=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. p1=p4=0.1，p2=p3=0.4B. p1=p4=0.4，p2=p3=0.1C. p1=p4=0.2，p2=p3=0.3D. p1=p4=0.3，p2=p3=0.2

标准差是衡量数据离散程度的指标，计算公式为方差的平方根。方差越大，数据点越分散。本题需比较四个选项中数据分布的离散程度，关键在于分析各选项中数据值与平均数的偏离程度。

核心思路：

1. 计算每个选项的平均数；
2. 计算方差（各数据与平均数差的平方的加权平均）；
3. 比较方差大小，方差最大的标准差最大。

破题关键：

• 当数据集中在两端（如选项B中p₁和p₄较大），数据点与平均数的偏离更大，方差更大；
• 数据集中在中间（如选项A中p₂和p₃较大），偏离较小，方差更小。

计算各选项的方差

选项B

平均数：
$E(X) = 1 \times 0.4 + 2 \times 0.1 + 3 \times 0.1 + 4 \times 0.4 = 2.5$
方差：
$\begin{aligned}\text{Var}(X) &= (1-2.5)^2 \times 0.4 + (2-2.5)^2 \times 0.1 + (3-2.5)^2 \times 0.1 + (4-2.5)^2 \times 0.4 \\&= 0.9 + 0.025 + 0.025 + 0.9 = 1.88\end{aligned}$

选项A

平均数：
$E(X) = 1 \times 0.1 + 2 \times 0.4 + 3 \times 0.4 + 4 \times 0.1 = 2.5$
方差：
$\begin{aligned}\text{Var}(X) &= (1-2.5)^2 \times 0.1 + (2-2.5)^2 \times 0.4 + (3-2.5)^2 \times 0.4 + (4-2.5)^2 \times 0.1 \\&= 0.225 + 0.1 + 0.1 + 0.225 = 0.65\end{aligned}$

选项C

平均数：
$E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.3 + 3 \times 0.3 + 4 \times 0.2 = 2.5$
方差：
$\begin{aligned}\text{Var}(X) &= (1-2.5)^2 \times 0.2 + (2-2.5)^2 \times 0.3 + (3-2.5)^2 \times 0.3 + (4-2.5)^2 \times 0.2 \\&= 0.45 + 0.075 + 0.075 + 0.45 = 1.05\end{aligned}$

选项D

平均数：
$E(X) = 1 \times 0.3 + 2 \times 0.2 + 3 \times 0.2 + 4 \times 0.3 = 2.5$
方差：
$\begin{aligned}\text{Var}(X) &= (1-2.5)^2 \times 0.3 + (2-2.5)^2 \times 0.2 + (3-2.5)^2 \times 0.2 + (4-2.5)^2 \times 0.3 \\&= 0.675 + 0.05 + 0.05 + 0.675 = 1.45\end{aligned}$

结论：选项B的方差最大（1.88），因此标准差最大。