题目
设 X_1, X_2, X_3 为来自总体 X sim N(mu, sigma^2) 的一个样本，hat(mu)_1 = aX_1 + aX_2 + aX_3，hat(mu)_2 = bX_1 + 2bX_2 + 2bX_3，则 a, b 取(）时，hat(mu)_1, hat(mu)_2 是 mu 的无偏估计量.A. a = (1)/(4), b = 0.3；B. a = 0.3, b = 0.2；C. a = (1)/(3), b = 0.2；D. a = 0.3, b = 0.3；
设 $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的一个样本，$\hat{\mu}_1 = aX_1 + aX_2 + aX_3$，$\hat{\mu}_2 = bX_1 + 2bX_2 + 2bX_3$，则 $a, b$ 取(）时，$\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计量.
A. $a = \frac{1}{4}, b = 0.3$；
B. $a = 0.3, b = 0.2$；
C. $a = \frac{1}{3}, b = 0.2$；
D. $a = 0.3, b = 0.3$；
题目解答
答案
C. $a = \frac{1}{3}, b = 0.2$；
解析
步骤 1：计算 $\hat{\mu}_1$ 的期望
对于估计量 $\hat{\mu}_1 = aX_1 + aX_2 + aX_3$，其期望为： \[ E(\hat{\mu}_1) = aE(X_1) + aE(X_2) + aE(X_3) = 3a\mu \] 要使 $\hat{\mu}_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，即 $E(\hat{\mu}_1) = \mu$，则有： \[ 3a\mu = \mu \implies a = \frac{1}{3} \]
步骤 2：计算 $\hat{\mu}_2$ 的期望
对于估计量 $\hat{\mu}_2 = bX_1 + 2bX_2 + 2bX_3$，其期望为： \[ E(\hat{\mu}_2) = bE(X_1) + 2bE(X_2) + 2bE(X_3) = 5b\mu \] 要使 $\hat{\mu}_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，即 $E(\hat{\mu}_2) = \mu$，则有： \[ 5b\mu = \mu \implies b = 0.2 \]
步骤 3：确定 $a, b$ 的值
根据步骤 1 和步骤 2 的计算结果，当 $a = \frac{1}{3}$ 且 $b = 0.2$ 时，$\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_2$ 均为 $\mu$ 的无偏估计量。
对于估计量 $\hat{\mu}_1 = aX_1 + aX_2 + aX_3$，其期望为： \[ E(\hat{\mu}_1) = aE(X_1) + aE(X_2) + aE(X_3) = 3a\mu \] 要使 $\hat{\mu}_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，即 $E(\hat{\mu}_1) = \mu$，则有： \[ 3a\mu = \mu \implies a = \frac{1}{3} \]
步骤 2：计算 $\hat{\mu}_2$ 的期望
对于估计量 $\hat{\mu}_2 = bX_1 + 2bX_2 + 2bX_3$，其期望为： \[ E(\hat{\mu}_2) = bE(X_1) + 2bE(X_2) + 2bE(X_3) = 5b\mu \] 要使 $\hat{\mu}_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，即 $E(\hat{\mu}_2) = \mu$，则有： \[ 5b\mu = \mu \implies b = 0.2 \]
步骤 3：确定 $a, b$ 的值
根据步骤 1 和步骤 2 的计算结果，当 $a = \frac{1}{3}$ 且 $b = 0.2$ 时，$\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_2$ 均为 $\mu$ 的无偏估计量。