[例7.1.1]设总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b未知,X1,X2,···,,,,,,-|||-是来自总体X的样本,试求a,b的矩估计量

步骤 1：确定总体X的矩
总体X在[a,b]上服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b \]
总体X的期望（一阶矩）为：
\[ E(X) = \frac{a+b}{2} \]
总体X的方差（二阶中心矩）为：
\[ Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \]

步骤 2：利用样本矩估计总体矩
设样本均值为：
\[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]
样本方差为：
\[ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \]
根据矩估计法，用样本矩估计总体矩，即：
\[ \bar{X} = \frac{a+b}{2} \]
\[ S^2 = \frac{(b-a)^2}{12} \]

步骤 3：求解a和b的矩估计量
由 \(\bar{X} = \frac{a+b}{2}\) 可得：
\[ a+b = 2\bar{X} \]
由 \(S^2 = \frac{(b-a)^2}{12}\) 可得：
\[ (b-a)^2 = 12S^2 \]
\[ b-a = \sqrt{12S^2} = 2\sqrt{3}S \]
联立以上两个方程，解得：
\[ a = \bar{X} - \sqrt{3}S \]
\[ b = \bar{X} + \sqrt{3}S \]