例2 设总体x服从正态分布N(μ,2^2 ),从总体X中抽取容量为16的样本-|||-X1,X2,···,x16·-|||-(1)如果已知 =0, 求 sum _(i=1)^16({X)_(i)}^2lt 128 的概率;-|||-(2)如果未知μ,求 sum _(i=1)^16(({X)_(i)-overline (X))}^2lt 100 的概率.

步骤 1：已知 $\mu =0$ 时，求 $\sum _{i=1}^{16}{{X}_{i}}^{2}\lt 128$ 的概率
- 由于总体X服从正态分布N(μ,2^2 )，且已知 $\mu =0$，则有 $X_i \sim N(0, 2^2)$。
- 由卡方分布的定义，$\sum _{i=1}^{16}{{X}_{i}}^{2}$ 服从自由度为16的卡方分布，即 $\sum _{i=1}^{16}{{X}_{i}}^{2} \sim \chi^2(16)$。
- 因此，求 $\sum _{i=1}^{16}{{X}_{i}}^{2}\lt 128$ 的概率，即求 $P(\chi^2(16) < 128)$。
- 查卡方分布表，当自由度为16时，$\chi^2_{0.01}(16) = 32.0$，即 $P(\chi^2(16) \geq 32.0) = 0.01$。
- 因此，$P(\chi^2(16) < 128) = 1 - P(\chi^2(16) \geq 32.0) = 1 - 0.01 = 0.99$。

步骤 2：未知 $\mu$ 时，求 $\sum _{i=1}^{16}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\lt 100$ 的概率
- 由于总体X服从正态分布N(μ,2^2 )，且未知 $\mu$，则有 $X_i \sim N(\mu, 2^2)$。
- 由卡方分布的定义，$\sum _{i=1}^{16}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$ 服从自由度为15的卡方分布，即 $\sum _{i=1}^{16}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2} \sim \chi^2(15)$。
- 因此，求 $\sum _{i=1}^{16}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\lt 100$ 的概率，即求 $P(\chi^2(15) < 100)$。
- 查卡方分布表，当自由度为15时，$\chi^2_{0.05}(15) = 25.0$，即 $P(\chi^2(15) \geq 25.0) = 0.05$。
- 因此，$P(\chi^2(15) < 100) = 1 - P(\chi^2(15) \geq 25.0) = 1 - 0.05 = 0.95$。