题目
设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。.05(36)=1.6883,-|||-_(0.025)(36)=2.0281.05(35)=1.6896,-|||-_(0.025)(35)=2.0301; .05(36)=1.6883,-|||-_(0.025)(36)=2.0281.05(35)=1.6896,-|||-_(0.025)(35)=2.0301
设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。
; 
题目解答
答案
解:已知
假设
;
统计量:
所以
,
所以接受假设,即认为在显著性水平下全体考生平均成绩为70分。
解析
步骤 1：确定假设
- 原假设 ${H}_{0}$：全体考生的平均成绩为70分，即 ${\mu }_{0}=70$。
- 备择假设 ${H}_{1}$：全体考生的平均成绩不为70分，即 ${\mu }_{0}\neq 70$。
步骤 2：计算检验统计量
- 已知样本容量 $n=36$，样本均值 $\overline {x}=66.5$，样本标准差 $s=15$。
- 检验统计量 $T=\dfrac {\overline {X}-{\mu }_{0}}{S/\sqrt {n}}$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值，${\mu }_{0}$ 是假设的总体均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
- 代入已知值，得到 $T=\dfrac {66.5-70}{15/\sqrt {36}}=\dfrac {-3.5}{15/6}=\dfrac {-3.5}{2.5}=-1.4$。
步骤 3：确定临界值
- 由于显著性水平 $\alpha =0.05$，自由度 $n-1=35$，查表得到 ${t}_{0.025}(35)=2.0301$。
- 临界值为 $\pm 2.0301$。
步骤 4：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $T=-1.4$，落在临界值 $\pm 2.0301$ 之间，即 $-2.0301\lt -1.4\lt 2.0301$。
- 因此，检验统计量 $T$ 的绝对值小于临界值，不拒绝原假设 ${H}_{0}$。
- 原假设 ${H}_{0}$：全体考生的平均成绩为70分，即 ${\mu }_{0}=70$。
- 备择假设 ${H}_{1}$：全体考生的平均成绩不为70分，即 ${\mu }_{0}\neq 70$。
步骤 2：计算检验统计量
- 已知样本容量 $n=36$，样本均值 $\overline {x}=66.5$，样本标准差 $s=15$。
- 检验统计量 $T=\dfrac {\overline {X}-{\mu }_{0}}{S/\sqrt {n}}$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值，${\mu }_{0}$ 是假设的总体均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
- 代入已知值，得到 $T=\dfrac {66.5-70}{15/\sqrt {36}}=\dfrac {-3.5}{15/6}=\dfrac {-3.5}{2.5}=-1.4$。
步骤 3：确定临界值
- 由于显著性水平 $\alpha =0.05$，自由度 $n-1=35$，查表得到 ${t}_{0.025}(35)=2.0301$。
- 临界值为 $\pm 2.0301$。
步骤 4：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $T=-1.4$，落在临界值 $\pm 2.0301$ 之间，即 $-2.0301\lt -1.4\lt 2.0301$。
- 因此，检验统计量 $T$ 的绝对值小于临界值，不拒绝原假设 ${H}_{0}$。